题解：洛谷 P1618 三连击（升级版）

【题目来源】

洛谷：P1618 三连击（升级版） - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

将 \(1,2,\dots, 9\) 共 \(9\) 个数分成三组，分别组成三个三位数，且使这三个三位数的比例是 \(A:B:C\)，试求出所有满足条件的三个三位数，若无解，输出 No!!!。

【输入】

三个数，\(A,B,C\)。

【输出】

若干行，每行 \(3\) 个数字。按照每行第一个数字升序排列。

【输入样例】

1 2 3

【输出样例】

192 384 576
219 438 657
273 546 819
327 654 981

【核心思想】

1. 问题分析：将数字 \(1 \sim 9\) 分成三组，各组成一个三位数，要求这三个三位数的比例恰好为 \(A:B:C\)。需要找出所有满足条件的三位数组合，并按第一个数升序输出。若无解输出 No!!!。本质是全排列 + 比例验证问题，但可以通过枚举第一个数 \(x\)，然后计算 \(y = x \times B / A\) 和 \(z = x \times C / A\)，检查它们是否为三位数且数字 \(1\sim9\) 各用一次。

2. 算法选择：

   • 枚举第一个数：由于三个数的比例固定，只需枚举第一个数 \(x\)（\(x\) 从 123 到 987，且能被 \(A\) 整除）。然后计算 \(y = x \times B / A\)，\(z = x \times C / A\)。检查 \(y\) 和 \(z\) 是否为三位数，且三个数合起来是否恰好包含 \(1\sim9\) 各一次。
   • 优化枚举范围：\(x\) 的范围可限制为使 \(z \le 987\)，即 \(x \le 987 \times A / C\)。
   • 数字统计：使用计数数组统计 0~9 出现的次数，检查 1~9 是否各出现一次（0 不出现）。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(A, B, C\)。
   • 枚举：for (int x = 123; x <= 987; x++)，但可优化为 x <= 987 * A / C。
     • 若 x * B % A != 0 或 x * C % A != 0，跳过（确保整数）。
     • 计算 y = x * B / A，z = x * C / A。
     • 若 y < 100 || y > 987 || z < 100 || z > 987，跳过。
     • 将 x, y, z 的各位数字加入计数数组，检查 1~9 是否各出现一次。
     • 若满足，输出 x y z 并标记有解。
   • 输出：若无解输出 No!!!。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(987 \times 9)\)，常数级。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)。

5. 枚举与比例验证：

   • 比例转换：利用比例关系将三变量问题转化为单变量枚举，是本题的核心优化。
   • 数字唯一性：使用计数数组确保 1~9 各出现一次，且 0 不出现。
   • 适用场景：这类“数字排列 + 比例约束”问题，常用枚举并验证的方式解决。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c, n1, n2, n3, flag=1, ans=0;
    int ls[15] = {0};  // 用于统计数字1-9出现次数的数组

    cin >> a >> b >> c;  // 输入三个比例系数

    // 遍历可能的num值（1到1000/c）
    for (int num=1; num<=1000/c; num++) {
        // 计算三个数的当前值
        n1 = num*a;
        n2 = num*b;
        n3 = num*c;

        // 分解n1的各位数字并统计
        for (int i=1; i<=3; i++) {
            ls[n1%10]++;  // 记录最低位数字
            n1 = n1/10;   // 去掉最低位
        }

        // 分解n2的各位数字并统计
        for (int i=1; i<=3; i++) {
            ls[n2%10]++;
            n2 = n2/10;
        }

        // 分解n3的各位数字并统计
        for (int i=1; i<=3; i++) {
            ls[n3%10]++;
            n3 = n3/10;
        }

        // 检查数字1-9是否各出现一次
        for (int i=1; i<=9; i++) {
            if (ls[i]!=1) {  // 如果有数字出现次数不为1
                flag = 0;
                break;
            }
        }

        // 如果满足条件，输出结果
        if(flag) {
            cout << num*a << " " << num*b << " " << num*c << endl;
            ans++;  // 增加有效解计数
        }
        else flag = 1;  // 重置标志

        // 清空统计数组
        for (int i=1; i<=9; i++) ls[i] = 0;
    }

    // 如果没有找到解，输出提示
    if (!ans) cout << "No!!!";

    return 0;
}

【运行结果】

1 2 3
192 384 576
219 438 657
273 546 819
327 654 981