题解：洛谷 P1554 梦中的统计

【题目来源】

洛谷：P1554 梦中的统计 - 洛谷

【题目描述】

Bessie 的大脑反应灵敏，仿佛真实地看到了她数过的一个又一个数。她开始注意每一个数码（\(0\dots 9\)）：每一个数码在计数的过程中出现过多少次？

给出两个整数 \(M\) 和 \(N\)，求在序列 \([M,M+1,M+2,\dots, N-1,N]\) 中每一个数码出现了多少次。

【输入】

第 \(1\) 行：两个用空格分开的整数 \(M\) 和 \(N\)。

【输出】

第 \(1\) 行：十个用空格分开的整数，分别表示数码 \(0\dots 9\) 在序列中出现的次数。

【输入样例】

129 137

【输出样例】

1 10 2 9 1 1 1 1 0 1

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个整数区间 \([M, N]\)，要求统计在这个区间内所有整数中，数码 \(0\) 到 \(9\) 各自出现的总次数。本质是一个数位统计问题，可以通过枚举区间内每个数并拆分其各位数字来实现。

2. 算法选择：

   • 枚举 + 数位拆分：遍历从 \(M\) 到 \(N\) 的每一个整数，对每个整数通过不断取模和整除 10 的方式拆出每一位数字，并累加到对应的计数数组中。该方法的时间复杂度为 \(O((N-M+1) \times \log_{10} N)\)，对于题目给定的数据范围（通常 \(N-M \le 10^5\)）是足够的。
   • 适用场景：当区间长度不大时，这种直接模拟的方法简单可靠，是入门题目的标准解法。

3. 关键步骤：

   • 读入与初始化：读取区间端点 \(M\) 和 \(N\)；初始化一个大小为 10 的计数数组 cnt[0..9]，全部置 0。
   • 枚举区间内每个数：使用 for (int i = M; i <= N; i++) 循环。
   • 数位拆分：对于当前数字 i，使用一个临时变量 x = i，然后循环 while (x > 0)，每次取出 x % 10 作为当前数位，将 cnt[digit]++，然后 x /= 10。
   • 处理数字 0：上述循环对数字 0 本身不会处理（因为 0 不进入 while 循环），但题目要求统计数码 0 的出现次数。如果 M = 0，则需要额外将 cnt[0] 加 1。另一种更通用的做法是使用 do-while 循环确保每个数字至少处理一次。
   • 输出结果：按顺序输出 cnt[0] 到 cnt[9]，用空格分隔。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O((N-M+1) \times \log_{10} N)\)，其中 \(\log_{10} N\) 是数字的位数（最多 10 位），效率很高。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数大小的计数数组。

5. 模拟与数位拆分：

   • 核心思想：将问题分解为对每个独立数字的处理。数位拆分是处理数字各位问题的基本技术。
   • 边界处理：需要注意当 i = 0 时，while 循环不会执行，需要特殊处理。代码中 while (n1 != 0) 循环在 n1 = 0 时不会计数 0，这在统计从 0 开始的区间时会出现漏计，应使用 do-while 循环或单独判断。
   • 适用场景：这类统计数字各位出现次数的问题是数位统计的入门形态，适合初学者理解枚举和取模运算。

【解题思路】

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int m, n, a[15]={0};  // 定义m、n和a数组，a数组初始化为0
    cin >> m >> n;  // 输入m和n
    for (int i=m; i<=n; i++) {  // 从m遍历到n
        int n1 = i;  // 得到每个数
        while (n1!=0) {  // 进行数位拆分
            int t = n1 % 10;  // 取出余数
            n1 = n1 / 10;  // 每个数再整除10，取出余数部分
            a[t]++;  // 使用投票箱方法，对t下标的数据进行自增
        }
    }
    for (int i=0; i<=9; i++) {  // 依次遍历0-9
        cout << a[i] << " ";  // 打印每个数字出现的次数，中间用空格隔开
    }
    return 0;
}

【运行结果】

129 137
1 10 2 9 1 1 1 1 0 1