题解：洛谷 P1161 开灯

【题目来源】

洛谷：P1161 开灯 - 洛谷

【题目描述】

在一条无限长的路上，有一排无限长的路灯，编号为 \(1,2,3,4\dots\)。

每一盏灯只有两种可能的状态，开或者关。如果按一下某一盏灯的开关，那么这盏灯的状态将发生改变。如果原来是开，将变成关。如果原来是关，将变成开。

在刚开始的时候，所有的灯都是关的。小明每次可以进行如下的操作：

指定两个数，\(a,t\)（\(a\) 为实数，\(t\) 为正整数）。将编号为 \(\lfloor a\rfloor,\lfloor 2\times a\rfloor,\lfloor 3\times a\rfloor,\dots,\lfloor t\times a\rfloor\) 的灯的开关各按一次。其中 \(\lfloor k\rfloor\) 表示实数 \(k\) 的整数部分。

在小明进行了 \(n\) 次操作后，小明突然发现，这个时候只有一盏灯是开的，小明很想知道这盏灯的编号，可是这盏灯离小明太远了，小明看不清编号是多少。

幸好，小明还记得之前的 \(n\) 次操作。于是小明找到了你，你能帮他计算出这盏开着的灯的编号吗？

【输入】

第一行一个正整数 \(n\)，表示 \(n\) 次操作。

接下来有 \(n\) 行，每行两个数，\(a_i,t_i\)。其中 \(a_i\) 是实数，小数点后一定有 \(6\) 位，\(t_i\) 是正整数。

【输出】

仅一个正整数，那盏开着的灯的编号。

【输入样例】

3
1.618034 13
2.618034 7
1.000000 21

【输出样例】

20

【核心思想】

1. 问题分析：有无限多盏初始为关闭的灯，进行 \(n\) 次操作，每次操作会切换一系列灯的开关状态：给定实数 \(a\) 和正整数 \(t\)，对编号为 \(\lfloor a \rfloor, \lfloor 2a \rfloor, \dots, \lfloor ta \rfloor\) 的灯各按一次开关。已知最终只有一盏灯是开着的，需要找出这盏灯的编号。本质是一个区间标记奇偶性问题，可以通过直接模拟开关操作，并利用异或（或奇偶翻转）来标记每盏灯被按的次数奇偶性。

2. 算法选择：

   • 数组标记 + 异或/取反：由于 \(t_i \times a_i\) 的最大值不超过 \(2,000,000\)，我们可以使用一个大小为 \(2,000,005\) 的布尔数组 light 表示灯的开关状态（0 表示关，1 表示开）。对于每次操作，计算并翻转对应编号的灯状态。最后遍历数组找到值为 1 的位置即可。
   • 时间复杂度：总操作次数 \(T = \sum t_i \le 2,000,000\)，所以总翻转次数也在 \(2,000,000\) 级别，完全可行。

3. 关键步骤：

   • 读入与初始化：读取 \(n\)，将数组 light 全部初始化为 0。
   • 处理每次操作：对于每行输入的 a 和 t：
     • 循环 \(j\) 从 1 到 \(t\)：
       • 计算灯编号 id = (int)(a * j)（由于 \(a\) 是实数，且保证小数部分存在，但这里用浮点数乘法后取整）。
       • 翻转状态：light[id] = 1 - light[id]。
   • 查找结果：遍历 light[1..2000000]，找到第一个值为 1 的位置并输出。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(T)\)，其中 \(T = \sum t_i \le 2,000,000\)。
   • 空间复杂度：\(O(2,000,000)\)，用于存储灯的状态。

5. 模拟与异或性质：

   • 奇偶性本质：一盏灯最终为开，当且仅当它被按了奇数次。因此，我们只需要记录每盏灯被按次数的奇偶性，而无需记录具体次数。
   • 数组边界：题目保证 \(\lfloor t_i \times a_i \rfloor \le 2,000,000\)，所以数组大小固定为 2,000,005 即可。
   • 浮点数处理：由于 \(a\) 是实数，在计算编号时需要使用浮点数乘法，但最终结果需要取整。注意：由于浮点数精度问题，最好使用 long double 或避免浮点误差，但本题数据范围下 double 通常足够。
   • 适用场景：这种“区间标记奇偶性”问题，如果数据范围允许，直接模拟开关状态是最直接且可靠的方法。

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

int b[2000005] = {0};    // 定义全局数组：标记灯的状态（0关闭，1打开）

int main()
{
    int n, t;            // 定义变量：n-操作次数，t-每次操作的次数
    double a;            // 定义变量：a-每次操作的基数

    cin >> n;            // 输入操作次数

    // 处理每次操作
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a >> t;   // 输入当前操作的基数a和次数t

        // 执行当前操作的所有开关动作
        for (int j = 1; j <= t; j++)
        {
            int temp = a * j;        // 计算当前要操作的灯编号
            b[temp] = 1 - b[temp];   // 切换灯的状态（0变1，1变0）
        }
    }

    // 查找第一个亮着的灯
    for (int i = 1; i <= 2000000; i++)
    {
        if (b[i] == 1)   // 如果灯是亮着的
        {
            cout << i;   // 输出灯编号
            break;       // 找到后立即退出循环
        }
    }

    return 0;            // 程序正常结束
}

【运行结果】

3
1.618034 13
2.618034 7
1.000000 21
20