题解：洛谷 P1116 车厢重组

【题目来源】

洛谷：P1116 车厢重组 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

在一个旧式的火车站旁边有一座桥，其桥面可以绕河中心的桥墩水平旋转。一个车站的职工发现桥的长度最多能容纳两节车厢，如果将桥旋转 \(180\) 度，则可以把相邻两节车厢的位置交换，用这种方法可以重新排列车厢的顺序。于是他就负责用这座桥将进站的车厢按车厢号从小到大排列。他退休后，火车站决定将这一工作自动化，其中一项重要的工作是编一个程序，输入初始的车厢顺序，计算最少用多少步就能将车厢排序。

【输入】

共两行。

第一行是车厢总数 \(N(\le 10000)\)。

第二行是 \(N\) 个不同的数表示初始的车厢顺序。

（注：实际上数据中并不都在同一行，有可能分行输入）

【输出】

一个整数，最少的旋转次数。

【输入样例】

4
4 3 2 1

【输出样例】

6

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个长度为 \(N\) 的排列，每次操作可以交换相邻两个元素（模拟桥旋转 180 度交换两节车厢的位置），目标是将其按升序排列，求最少交换次数。这个问题等价于计算该排列的逆序数，因为每次相邻交换最多只能消除一个逆序对，而冒泡排序的交换次数正好等于逆序数。

2. 算法选择：

   • 冒泡排序统计交换次数：直接模拟冒泡排序过程，每交换一次相邻逆序对就计数一次。时间复杂度 \(O(N^2)\)，对于 \(N \le 10000\) 是可行的（最坏约 \(5\times10^7\) 次比较，在 C++ 中可接受）。
   • 归并排序求逆序数（更优）：用归并排序在 \(O(N \log N)\) 时间内计算逆序数，但本题数据规模下冒泡排序足以通过。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(N\) 和数组 \(a[1..N]\)。
   • 冒泡排序：外层循环 \(i\) 从 \(N\) 到 1，内层循环 \(j\) 从 1 到 \(i-1\)，若 \(a[j] > a[j+1]\)，则交换并 ans++。
   • 输出：ans。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^2)\)。
   • 空间复杂度：\(O(N)\)。

5. 逆序数与冒泡排序：

   • 逆序数：一个排列中，满足 \(i < j\) 且 \(a_i > a_j\) 的数对数量，即为将该排列排序所需的最少相邻交换次数。
   • 冒泡排序模拟：每次交换相邻逆序对，恰好消除一个逆序对，所以交换次数即为逆序数。
   • 适用场景：这类“相邻交换排序最少次数”问题，本质上就是求逆序数。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #其他排序

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, a[10005], ans = 0; // n: 数组长度，a: 存储数组，ans: 记录交换次数
    cin >> n; // 输入数组长度
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; // 输入数组元素

    // 冒泡排序，并统计交换次数
    for (int i = n; i >= 1; i--) { // 外层循环，控制排序范围
        for (int j = 1; j < i; j++) { // 内层循环，比较相邻元素
            if (a[j] > a[j + 1]) { // 如果前一个元素大于后一个元素
                swap(a[j], a[j + 1]); // 交换两个元素
                ans++; // 交换次数加1
            }
        }
    }

    // 输出交换次数
    cout << ans;
    return 0;
}

【运行结果】

4
4 3 2 1
6