题解：洛谷 P1067 多项式输出

【题目来源】

洛谷：P1067 [NOIP 2009 普及组] 多项式输出 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

一元 \(n\) 次多项式可用如下的表达式表示：

其中，\(a_ix^i\) 称为 \(i\) 次项，\(a_i\) 称为 \(i\) 次项的系数。给出一个一元多项式各项的次数和系数，请按照如下规定的格式要求输出该多项式：

1. 多项式中自变量为 \(x\)，从左到右按照次数递减顺序给出多项式。
2. 多项式中只包含系数不为 \(0\) 的项。
3. 如果多项式 \(n\) 次项系数为正，则多项式开头不出 + 号，如果多项式 \(n\) 次项系数为负，则多项式以 - 号开头。
4. 对于不是最高次的项，以 + 号或者 - 号连接此项与前一项，分别表示此项系数为正或者系数为负。紧跟一个正整数，表示此项系数的绝对值（如果一个高于 \(0\) 次的项，其系数的绝对值为 \(1\)，则无需输出 \(1\)）。如果 \(x\) 的指数大于 \(1\)，则接下来紧跟的指数部分的形式为“\(x^b\)”，其中 \(b\) 为 \(x\) 的指数；如果 \(x\) 的指数为 \(1\)，则接下来紧跟的指数部分形式为 \(x\)；如果 \(x\) 的指数为 \(0\)，则仅需输出系数即可。
5. 多项式中，多项式的开头、结尾不含多余的空格。

【输入】

输入共有 \(2\) 行

第一行 \(1\) 个整数，\(n\)，表示一元多项式的次数。

第二行有 \(n+1\) 个整数，其中第 \(i\) 个整数表示第 \(n-i+1\) 次项的系数，每两个整数之间用空格隔开。

【输出】

输出共 \(1\) 行，按题目所述格式输出多项式。

【输入样例】

5
100 -1 1 -3 0 10

【输出样例】

100x^5-x^4+x^3-3x^2+10

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个 \(n\) 次多项式的系数（从最高次到常数项），要求按照特定格式输出多项式。格式规则包括：省略系数为 0 的项、处理首项符号、系数绝对值为 1 时省略系数、指数为 1 时省略指数、指数为 0 时只输出常数。本质是一个格式化字符串输出问题，需要根据多项式的次数和系数逐项处理。

2. 算法选择：

   • 逐项处理：从最高次项到常数项遍历，对每一项根据其系数和指数决定输出格式。维护一个标志变量记录是否已输出过非零项，用于决定是否添加符号。
   • 分类讨论：对系数 \(a_i\) 的符号、绝对值是否为 1、指数 \(i\) 的值进行分支处理。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(n\)，然后读取 \(n+1\) 个系数（从 \(a_n\) 到 \(a_0\)）。
   • 初始化：设置 first = true 标记是否为第一项。
   • 遍历：i 从 \(n\) 到 \(0\)：
     • 若 a[i] == 0，跳过。
     • 符号处理：
       • 若 first，则若 a[i] < 0 输出 -，否则不输出符号（正数首项无符号）。
       • 否则，若 a[i] > 0 输出 +，若 a[i] < 0 输出 -。
     • 系数输出：
       • 若 abs(a[i]) != 1 或 i == 0，输出 abs(a[i])。
       • 否则（系数绝对值为 1 且指数 > 0），不输出系数。
     • 指数输出：
       • 若 i > 1，输出 x^ + i。
       • 若 i == 1，输出 x。
       • 若 i == 0，不输出。
     • 设置 first = false。
   • 特判：若所有系数均为 0，输出 0。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)。
   • 空间复杂度：\(O(n)\)。

5. 格式化输出与分支逻辑：

   • 符号控制：首项正数不加符号，其余项根据系数符号添加 + 或 -。
   • 系数省略：当系数绝对值为 1 且指数不为 0 时，省略系数 1。
   • 指数格式：x^1 省略为 x，x^0 省略指数。
   • 适用场景：这类“多项式格式化输出”是模拟题的经典题型，考查字符串处理和条件分支。

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n, a[105];  // n 表示多项式的最高次幂，a 数组存储多项式的系数
    cin >> n;  // 输入多项式的最高次幂

    // 从高次幂到低次幂依次输入系数
    for (int i = n; i >= 0; i--)
        cin >> a[i];

    // 从高次幂到低次幂依次输出多项式
    for (int i = n; i >= 0; i--)
	{
        // 如果当前项的系数为0，跳过不输出
        if (a[i] == 0) continue;

        // 如果多项式是常数项（n=0），直接输出常数项并结束循环
        if (n == 0)
		{
            cout << a[i];
            break;
        }

        // 处理常数项（i=0）的情况
        if (i == 0)
		{
            if (a[i] > 0)
			{
                cout << "+" << a[i];  // 如果常数项为正，输出带加号的常数项
                break;
            }
			else if (a[i] < 0)
			{
                cout << a[i];  // 如果常数项为负，直接输出常数项
                break;
            }
        }

        // 处理非常数项的情况
        if (a[i] > 0)
		{
            if (i != n) cout << "+";  // 如果不是最高次项，输出加号
            if (a[i] != 1) cout << a[i];  // 如果系数不为1，输出系数
        }
        if (a[i] < 0)
		{
            if (a[i] == -1) cout << "-";  // 如果系数为-1，只输出负号
            else cout << a[i];  // 否则输出系数
        }

        // 输出指数项
        if (i > 1) printf("x^%d", i);  // 如果指数大于1，输出x的指数形式
        else if (i == 1) cout << "x";  // 如果指数为1，只输出x
    }

    return 0;
}

【运行结果】

3
-50 0 0 1
-50x^3+1