题解：洛谷 P1047 校门外的树

【题目来源】

洛谷：P1047 [NOIP 2005 普及组] 校门外的树 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

某校大门外长度为 \(l\) 的马路上有一排树，每两棵相邻的树之间的间隔都是 \(1\) 米。我们可以把马路看成一个数轴，马路的一端在数轴 \(0\) 的位置，另一端在 \(l\) 的位置；数轴上的每个整数点，即 \(0,1,2,\dots,l\)，都种有一棵树。

由于马路上有一些区域要用来建地铁。这些区域用它们在数轴上的起始点和终止点表示。已知任一区域的起始点和终止点的坐标都是整数，区域之间可能有重合的部分。现在要把这些区域中的树（包括区域端点处的两棵树）移走。你的任务是计算将这些树都移走后，马路上还有多少棵树。

【输入】

第一行有两个整数，分别表示马路的长度 \(l\) 和区域的数目 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(u,v\)，表示一个区域的起始点和终止点的坐标。

【输出】

输出一行一个整数，表示将这些树都移走后，马路上剩余的树木数量。

【输入样例】

500 3 150 300 100 200 470 471

【输出样例】

298

【核心思想】

1. 问题分析：一条长度为 \(l\) 的马路上，从 \(0\) 到 \(l\) 的每个整数点上都有一棵树。给定 \(m\) 个区间 \([u, v]\)，需要移除这些区间内（包括端点）的所有树。区间可能有重叠。求最终剩余树的数量。本质是区间覆盖标记问题，即对一维坐标轴上的点进行“移除”标记，最后统计未被标记的点数。

2. 算法选择：

   • 标记数组模拟：由于 \(l\) 的范围通常较小（例如 \(l \le 10000\)），可以直接使用一个布尔数组 a[0..l]，初始全部为 1（表示有树）。对于每个区间 \([u, v]\)，将 a[u..v] 全部置为 0（表示移除）。最后遍历数组统计 1 的个数即可。
   • 差分数组优化（可选）：如果 \(l\) 较大，可以使用差分数组在 \(O(l + m)\) 时间内完成标记，但本题数据范围下标记数组方法足够。

3. 关键步骤：

   • 读入与初始化：读取 \(l\) 和 \(m\)，将数组 a[0..l] 全部初始化为 1。
   • 标记移除：对于每个区间 \([u, v]\)，用循环将 a[u] 到 a[v] 全部赋值为 0（注意包含端点）。
   • 统计剩余：遍历 a[0..l]，累加所有值为 1 的位置数量。
   • 输出：输出统计结果。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(l + m \times \text{区间平均长度})\)，最坏情况下 \(O(l \cdot m)\)，但由于 \(l\) 通常较小，可接受。若用差分可优化到 \(O(l + m)\)。
   • 空间复杂度：\(O(l)\)。

5. 模拟与区间覆盖：

   • 直接标记：用数组表示每个整数点的状态，是最直观的“模拟”思路，适合数据范围不大（\(l \le 10^5\) 左右）的场景。
   • 端点包含：注意题目明确说“包括区域端点处的两棵树”，所以循环条件为 j <= v 而不是 < v。
   • 重叠区间：直接覆盖标记即可，无需特殊处理，因为多次置 0 不影响最终结果。
   • 适用场景：这类区间覆盖标记问题在入门算法中非常经典，也可用于理解“离散化”或“差分”等更高级技巧的基础。

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件
using namespace std;

int main()
{
    int l, m, u, v, a[10005], ans = 0;  // l:马路长度，m:区域数量，u/v:区域起止点，a:标记数组，ans:结果计数器

    // 输入马路长度和区域数量
    cin >> l >> m;

    // 初始化标记数组（1表示有树，0表示无树）
    for (int i = 0; i <= l; i++) {
        a[i] = 1;  // 初始所有位置都有树
    }

    // 处理每个施工区域
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> u >> v;  // 输入施工区域起止点
        // 将该区域的树标记为移除
        for (int j = u; j <= v; j++) {
            a[j] = 0;  // 0表示树被移除
        }
    }

    // 统计剩余树木数量
    for (int i = 0; i <= l; i++) {
        if (a[i] == 1) {  // 如果该位置还有树
            ans++;        // 计数器加1
        }
    }

    // 输出剩余树木数量
    cout << ans;

    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

500 3
150 300
100 200
470 471
298