题解：洛谷 P9948 Race

【题目来源】

【题目描述】

Bessie 正在参加一场 \(K(1\le K\le 10^9)\)米的跑步比赛。她从 \(0\) 米每秒的速度开始比赛。在每一秒中，她可以选择将她的速度增加\(1\) 米每秒，保持速度不变，或者将她的速度减少 \(1\) 米每秒。例如，在第一秒中，她可以将她的速度增加到 \(1\)米每秒，跑 \(1\) 米，或者保持她的速度\(0\)米每秒不变，跑 \(0\) 米。Bessie 的速度不会降低到小于零。

Bessie 始终朝着终点线的方向跑，她想要花费整数秒的时间完成比赛。此外，她不想在终点时跑得太快：在 Bessie 跑完 \(K\)米的时刻，她希望她的速度不超过 \(X(1\le X\le 10^5)\)米每秒。Bessie 想要对于\(N(1\le N\le 1000)\)个不同的\(X\) 值知道她多快可以完成比赛。

【输入】

输入的第一行包含两个整数 \(K\) 和 \(N\)。

以下\(N\) 行每行包含一个整数 \(X\)。

【输出】

输出 \(N\) 行，每行包含一个整数，表示 Bessie 完成比赛时的速度小于或等于 \(X\) 的情况下跑完 \(K\)米需要的最小时间。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定总路程 \(K\)（\(1 \le K \le 10^9\)），起点速度0，每秒速度可变化 \(-1,0,+1\)，且速度非负。要求在跑完 \(K\) 米的结束时刻速度不超过给定的 \(X\)，求最小整数秒数。对于 \(N\) 个不同的 \(X\) 分别作答（\(N \le 1000\)）。本质是一个带终点速度约束的加速-减速最优控制问题，需要最小化时间，等价于在速度限制下最大化每秒平均速度，且速度曲线呈“先加速后减速”的对称结构。
算法选择：
- 数学推导 + 二分答案：对于给定的 \(X\)，最优策略是先以 \(+1\) 加速到某个峰值 \(V\)，然后以 \(-1\) 减速到终点速度恰好为 \(X\)（或 \(X+1\)，根据奇偶性调整）。跑过的总路程是速度曲线下的面积。可以通过二分搜索“峰值速度以上额外运行的时间”来求解。
- 分段计算：将过程分为三段：
  1. 从0加速到 \(X\)（速度从0到 \(X\)，耗时 \(X\) 秒，路程 \(\frac{X(X+1)}{2}\)）。
  2. 以速度 \(X\) 为基底，额外增加一段“等腰梯形”或“三角形”的变速过程（速度从 \(X\) 上升到峰值再回到 \(X\)），该过程增加的路程为 \(m \cdot X + \text{额外面积}\)，其中 \(m\) 是额外的时间秒数。
  3. 从 \(X\) 减速到 \(X\)（实际是回到 \(X\)，形成闭合）后的路程计算。
关键步骤（基于代码逻辑）：
- 预处理：读入 \(K\) 和 \(N\)，对每个询问 \(X\) 单独计算。
- 情况1：仅加速段即可完成：计算从0加速到 \(X\) 的路程 \(base = \frac{X(X+1)}{2}\)。若 \(base \ge K\)，则只需加速（可能未达到 \(X\) 就已跑完），最小时间 \(t = \lceil \sqrt{2K + 0.25} - 0.5 \rceil\)，即满足 \(\frac{v(v+1)}{2} \ge K\) 的最小整数 \(v\)。
- 情况2：需要加速到峰值再减速：
  - 令 \(remain = K - base\) 为需要额外跑的路程。
  - 二分搜索额外的“往返时间” \(m\)（即在速度 \(X\) 之上运行的总秒数）。\(m\) 的最小可能值为0，最大可能值为 \((K - base) / X\)（取上整）。
  - 对于给定的 \(m\)，计算在 \(m\) 秒内，速度从 \(X\) 出发，经过加速再减速回到 \(X\) 能提供的最大额外路程 \(extraMax\)。最优结构是：若 \(m\) 为偶数 \(2a\)，则先加速 \(a\) 秒再减速 \(a\) 秒，额外路程为 \(a(a+1)\)；若 \(m\) 为奇数 \(2a+1\)，则先加速 \(a\) 秒，保持峰值 \(1\) 秒，再减速 \(a\) 秒，额外路程为 \((a+1)^2\)。
  - 二分找到最小的 \(m\)，使得 \(extraMax \ge remain\)。
  - 总时间 \(ans = X + m\)（因为 \(base\) 部分耗时 \(X\) 秒，\(m\) 为额外秒数）。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N \log K)\)，其中 \(N \le 1000\)，二分范围约 \(K/X\)，但 \(K \le 10^9\)，\(\log K\) 约 30，完全可行。
- 空间复杂度：\(O(1)\)。
贪心 + 二分最优速度曲线的核心思想：
- 最优策略的对称性：在终点速度限制下，为了最短时间完成固定路程，速度曲线应尽可能“高”且“平坦”。因此，最优方案是单调加速到某个峰值，再单调减速到终点速度 \(X\)（速度变化率为 ±1）。这形成了一个关于峰值对称的梯形（或三角形）。
- 面积分解：将总路程分解为“基础加速段”（0→X）和“额外振荡段”（X→峰值→X）。基础段的时间和路程固定，只需最小化额外段的时间，这转化为给定额外时间 \(m\) 求最大额外路程的单调函数，从而可二分。
- 整数约束处理：速度和路程均为整数，二分边界和公式计算需小心取整。
- 适用场景：适用于一维运动学优化，加速度受限（仅 ±1）且终点速度有上界，求最短时间。核心是利用速度-时间图的面积（路程）进行数学推导和二分。

【解题思路】

【算法标签】

普及 #整数二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k, n, x;
// ifstream filein("race.in");
// ofstream fileout("race.out");
int main()
{
    // filein >> k >> n;  // 输入k和n
    cin >> k >> n;  // 输入k和n
    while (n--) {  // 遍历n次询问
        // filein >> x;  // 输入x
        cin >> x;  // 输入x
        long long presum = (long long)(x+1)*x/2;  // 求出presum（细节处理，需要加上long long）
        if (presum>=k) {  // 如果presum已经超过了k
            // fileout << ceil(sqrt(2*k+0.25)-0.5) << endl;  // 反向求
            cout << ceil(sqrt(2*k+0.25)-0.5) << endl;  // 反向求
            continue;
        }
        int l=0, r=(k-presum)/x;  // 二分左值为0，右值为(k-presum)/x
        if ((k-presum)%x!=0) {  // 如果r不为整数，自增1（细节处理）
            r++;
        }
        while (l<r-1) {  // 二分查找
            int m = (l+r)/2;  // 中间点
            int tot = k-presum-x*m;  // tot为增加面积。（tot+presum+m*x）>= k
            long long cmax=0;  // 定义cmax，后面需要与tot比较
            int up=m/2;  // up取m的一半
            if (m%2==0) {
                cmax = (long long)up*up;  // 增加的面积
            } else {
                cmax = (long long)(1+up)*up;  // 增加的面积（细节处理）
            }
            if (cmax>=tot) {  // 如果cmax大于等于tot，说明m设大了
                r = m;
            } else {  // 否则说明设小了
                l = m;
            }
        }
        // fileout << x+r << endl;  // x是presum的时间，r为m这段的时间
        cout << x+r << endl;  // x是presum的时间，r为m这段的时间
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-30 09:21 团爸讲算法阅读(10) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P9948 Race

普及 #整数二分

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