题解：洛谷 P1827 美国血统

【题目来源】

洛谷：P1827 [USACO3.4] 美国血统 American Heritage - 洛谷

【题目描述】

农夫约翰非常认真地对待他的奶牛们的血统。然而他不是一个真正优秀的记帐员。他把他的奶牛们的家谱作成二叉树，并且把二叉树以更线性的“树的中序遍历”和“树的前序遍历”的符号加以记录而不是用图形的方法。

你的任务是在被给予奶牛家谱的“树中序遍历”和“树前序遍历”的符号后，创建奶牛家谱的“树的后序遍历”的符号。每一头奶牛的姓名被译为一个唯一的字母。（你可能已经知道你可以在知道树的两种遍历以后可以经常地重建这棵树。）显然，这里的树不会有多于 26 个的顶点。

这是在样例输入和样例输出中的树的图形表达方式：

【输入】

第一行一个字符串，表示该树的中序遍历。

第二行一个字符串，表示该树的前序遍历。

【输出】

单独的一行表示该树的后序遍历。

【输入样例】

ABEDFCHG
CBADEFGH

【输出样例】

AEFDBHGC

【核心思想】

问题分析：给定一棵二叉树的中序遍历和前序遍历字符串（节点用大写字母表示，节点数不超过 26），要求输出该二叉树的后序遍历。这是经典的二叉树遍历重建问题，利用前序遍历确定根节点，利用中序遍历划分左右子树，递归构建并输出后序序列。
算法选择：
- 递归分治：前序遍历的第一个字符一定是树的根节点。在中序遍历中找到该根节点的位置，其左侧为左子树的中序遍历，右侧为右子树的中序遍历。根据左子树节点个数，可以在前序遍历中划分出左右子树的前序遍历。递归处理左右子树，最后输出根节点字符，即可得到后序遍历。
- 字符串区间操作：使用字符串的起始和结束索引（左闭右开）来表示子树范围，避免频繁创建子串，提高效率。
关键步骤：
- 读入：读取中序遍历字符串 a 和前序遍历字符串 b。
- 定义递归函数 f(al, ar, bl, br)：
  - [al, ar) 表示当前子树在中序遍历中的区间。
  - [bl, br) 表示当前子树在前序遍历中的区间。
  - 若区间为空（al >= ar），则返回。
  - 根节点为 b[bl]（前序遍历的第一个字符）。
  - 在中序遍历区间 [al, ar) 中找到根节点 b[bl] 的位置 ak。
  - 左子树节点数 ln = ak - al。
  - 递归处理左子树：中序 [al, al+ln)，前序 [bl+1, bl+1+ln)。
  - 递归处理右子树：中序 [ak+1, ar)，前序 [bl+1+ln, br)。
  - 输出根节点字符 b[bl]（后序遍历在左右子树之后输出）。
- 调用：f(0, n, 0, n)，其中 n 为字符串长度。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n^2)\)，最坏情况下每次查找根节点需要遍历中序区间，\(n \le 26\)，完全可行（也可优化为 \(O(n)\) 使用哈希表）。
- 空间复杂度：\(O(n)\)，递归栈深度最多 \(n\)。
二叉树遍历的性质：
- 前序定根：前序遍历的第一个节点总是当前子树的根。
- 中序分左右：根节点在中序遍历中将序列分为左子树和右子树。
- 递归分治：利用上述性质将问题递归分解为左右子树的子问题，最终合并得到后序遍历。
- 后序输出：后序遍历的顺序是“左子树 → 右子树 → 根”，因此在递归输出左右子树后，再输出根节点。
- 适用场景：已知二叉树的两种遍历序列（必须包含中序）求第三种遍历，是数据结构与算法的经典问题。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #DFS-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string a, b;
// char a[30], b[30];
void f(int al, int ar, int bl, int br)
{
    int ak, ln, rn;  // 定义a中ak（即中序遍历中的根节点）
    for (int i=al; i<ar; i++) {  // 遍历a字符串
        if (a[i]==b[bl]) {  // 根据b中第一个字符，即根节点，找到a中根节点的位置
            ak = i;  // 记录其位置
            break;  // 退出循环
        }
    }
    ln = ak-al;  // 得到左子树的字符长度
    rn = ar-(ak+1);  // 以及右子树的字符长度

    if (ln>0) {  // 如果左子树长度不为0
        f(al, al+ln, bl+1, bl+1+ln);  // 传入中序和前序字符串的起始和终止位置
    }
    if (rn>0) {  // 如果右子树长度不为0
        f(ak+1, ak+1+rn, br-rn, br);  // 传入中序和前序字符串的起始和终止位置
    }
    cout << b[bl];  // 直到只有1个字符的情况，打印这个字符
    return;
}
int main()
{
    cin >> a >> b;  // 以字符串形式读入中序遍历和前序遍历字符串
    int n = a.length();  // 得到字符串长度
    int al = 0, ar = n, bl = 0, br = n;  // 定义a和b字符串的起始和结束为止
    f(al, ar, bl, br);  // 传入f递归函数中
    return 0;
}

【运行结果】

ABEDFCHG
CBADEFGH
AEFDBHGC

posted @ 2026-08-30 09:21 团爸讲算法阅读(14) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

题解：洛谷 P1827 美国血统

普及- #DFS-一维

公告