题解：洛谷 P2722 总分Score Inflation

【题目来源】

洛谷：P2722 [USACO3.1] 总分 Score Inflation - 洛谷

【题目描述】

我们可以从几个种类中选取竞赛的题目，这里的一个“种类”是指一个竞赛题目的集合，解决集合中的题目需要相同多的时间并且能得到相同的分数。

你的任务是写一个程序来告诉 USACO 的职员，应该从每一个种类中选取多少题目，使得解决题目的总耗时在竞赛规定的时间里并且总分最大。

【输入】

输入的第一行是用空格隔开的两个整数，分别代表竞赛时间 \(m\) 和题目类 \(n\)。

第 \(2\) 到第 \((n + 1)\) 行，每行两个用空格隔开的整数，第 \((i + 1)\) 行的整数 \(p_i, t_i\) 分别代表解决第 \(i\) 类题得到的分数和需要花费的时间。

既然是某一类题目，那么这一类题目可以重复选择。

【输出】

输出一行一个整数，代表最大的总分。

【输入样例】

300 4
100 60
250 120
120 100
35 20

【输出样例】

605

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个总时间限制 \(m\) 和 \(n\) 类题目，每类题目有固定的得分 \(p_i\) 和耗时 \(t_i\)，每类题目可以无限次重复选择。目标是选择若干道题（可重复选同一类），使得总耗时不超过 \(m\) 且总得分最大。这是一个典型的完全背包问题，其中背包容量为 \(m\)，物品重量为 \(t_i\)，价值为 \(p_i\)，且每种物品无限供应。

2. 算法选择：

   • 完全背包动态规划：使用一维 DP 数组 dp[j] 表示容量为 \(j\) 时的最大得分。状态转移方程为 \(dp[j] = \max(dp[j], dp[j - t_i] + p_i)\)，遍历容量时从小到大（正序），因为每类题目可以无限取用，允许在当前容量下重复使用同一物品。
   • 复杂度：时间复杂度 \(O(n \times m)\)，空间复杂度 \(O(m)\)，适合 \(m \le 10000\) 的数据范围。

3. 关键步骤：

   • 读入数据：读取 \(m\)（总时间）和 \(n\)（题目种类数），然后读取每类题目的分数 \(p_i\) 和时间 \(t_i\)（注意代码中数组顺序为 c[i] 为分数，w[i] 为时间）。
   • DP 初始化：dp[0] = 0，其余 dp[j] = 0（因为至少可以不选任何题目，得分为 0）。
   • 动态规划转移：
     • 外层循环遍历每类题目 \(i\)（1 到 \(n\)）。
     • 内层循环遍历容量 \(j\) 从 \(t_i\) 到 \(m\)（正序，允许重复选择该类题目）。
     • 更新 dp[j] = max(dp[j], dp[j - t_i] + p_i)。
   • 输出：dp[m] 即为最大总分。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \times m)\)，\(n\) 是题目种类数，\(m\) 是总时间，均在可接受范围内。
   • 空间复杂度：\(O(m)\)，使用一维 DP 数组。

5. 完全背包的核心思想：

   • 与 0-1 背包的区别：0-1 背包每种物品只能选一次，内层容量需倒序遍历；完全背包每种物品可选无限次，内层容量需正序遍历，因为当前状态可以由同一种物品的较小容量状态转移而来。
   • 无后效性：\(dp[j]\) 只依赖于当前物品和更小容量的状态，符合动态规划的最优子结构性质。
   • 初始化：这里追求最大得分，所有状态初始化为 0 是合理的，因为可以选择不填满背包。
   • 适用场景：完全背包适用于资源无限、可重复选择的最优化问题，如投资组合、原材料切割等。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #完全背包

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m, n;
int w[10005], c[10005];
int dp[10005];
int main()
{
    cin >> m >> n;  // 输入m和n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 依次输入n个种类的分数和花费时间
        cin >> c[i] >> w[i];
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 按照完全背包模板填写（滚动数组版本）
        for (int j=w[i]; j<=m; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+c[i]);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;  //
    return 0;
}

【运行结果】

300 4
100 60
250 120
120 100
35 20
605