题解：洛谷 P2997 Banner
【题目来源】
洛谷：P2997 [USACO10NOV] Banner S
【题目描述】
Bessie 刚从国外长途旅行回来，农夫约翰想在她的牧场里竖起一个漂亮的「欢迎回家」横幅。横幅将挂在两根柱子之间的电线上，电线的长度范围是 \(L_1..L_2\)，其中 \(1 \le L_1 \le L_2\)，且 \(L_1 \le L_2 \le 1,500\)。
牧场的大小为 \(W \times H\)，其中 \(1 \le W \le 1,000\)，\(1 \le H \le 1,000\)，农夫约翰在每个整数坐标点上都安装了一根柱子。在这些 \((W + 1) \times (H + 1)\) 个点中，农夫约翰必须选择两个点来固定电线的两端，以便悬挂横幅。
约翰希望横幅悬挂时不受干扰，并要求在他拉紧的电线下方没有柱子。
农夫约翰需要你的帮助来计算他有多少种可能的方式来悬挂横幅。他知道这个数量很大，32 位整数可能不足以计算出答案。
考虑下面的牧场示例，其中 \(W = 2\) 和 \(H = 1\)：
* * *
* * *
横幅的长度范围是 \(2..3\)。这个牧场包含 \((2+1) \times (1+1) = 6\) 个点，并且有 \(\binom{6}{2} = \frac{6\times5}{2\times1} = 15\) 对不同的点对，可以在其间拉伸横幅固定电线：
(0,0)-(0,1) (0,0)-(2,1) (0,1)-(2,1) (1,1)-(2,0)
(0,0)-(1,0) (0,1)-(1,0) (1,0)-(1,1) (1,1)-(2,1)
(0,0)-(1,1) (0,1)-(1,1) (1,0)-(2,0) (2,0)-(2,1)
(0,0)-(2,0) (0,1)-(2,0) (1,0)-(2,1)
在这些点对中，只有四对的长度在 \(2..3\) 的范围内：
长度 长度
(0,0)-(2,0) 2.00 (0,1)-(2,0) 2.24
(0,0)-(2,1) 2.24 (0,1)-(2,1) 2.00
在这四对中，点对 (0,0)-(2,0) 和 (0,1)-(2,1) 的连线上都有柱子，因此不合适。
所以，在 15 对点中，只有两对是合适的悬挂横幅电线的候选者。
【输入】
* 第 1 行：四个用空格分隔的整数：\(W\)，\(H\)，\(L_1\) 和 \(L_2\)。
【输出】
* 第 1 行：一个整数，表示可能的横幅数量。
【输入样例】
2 1 2 3
【输出样例】
2
【核心思想】
-
问题分析：在一个 \((W+1) \times (H+1)\) 的整数点阵中，选择两个点作为电线端点，要求两点间距离在 \([L_1, L_2]\) 范围内，并且两点连线不经过任何其他整数点（即端点之间无其他柱子）。求满足条件的点对数量。本质是枚举所有可能的相对位移向量 \((i, j)\)，并利用 \(i\) 与 \(j\) 互质 来保证线段不经过中间整点。
-
算法选择：
- 枚举向量 + 互质判定：直接枚举两点在水平和垂直方向上的差值 \((i, j)\)（\(i \in [0, W]\)，\(j \in [0, H]\)，排除 \(i=j=0\)）。对于每个非零向量，其长度平方为 \(i^2 + j^2\)，若在 \([L_1^2, L_2^2]\) 之间，且 \(\gcd(i, j) = 1\)，则该向量对应的所有点对均合法。
- 计数策略：对于固定的 \((i, j)\)，在 \(W \times H\) 的网格中，水平方向有 \((W+1-i)\) 种起点列位置，垂直方向有 \((H+1-j)\) 种起点行位置，因此共有 \((W+1-i)(H+1-j)\) 个有序方向的点对。由于 \((i, j)\) 和 \((-i, -j)\) 代表同一对点（但起点和终点互换），代码中通过乘以 \(2\) 来处理正负方向（当 \(i \neq 0\) 且 \(j \neq 0\) 时）。
- 特殊情况：水平相邻（\(i=1, j=0\)）和垂直相邻（\(i=0, j=1\)）的点对，如果长度在 \([L_1, L_2]\) 范围内（即 \(L_1 \le 1 \le L_2\)），需单独计数，因为代码中的双层循环从 \(i=1, j=1\) 开始，不包含 \(i=0\) 或 \(j=0\) 的情况。
-
关键步骤：
- 读入：\(W, H, L_1, L_2\)。
- 特判相邻点对：若 \(L_1 \le 1\) 且 \(L_2 \ge 1\)，则水平相邻点对数为 \(W \times (H+1)\)，垂直相邻点对数为 \(H \times (W+1)\)，累加至答案。
- 枚举斜向量：\(i\) 从 \(1\) 到 \(W\)，\(j\) 从 \(1\) 到 \(H\)：
- 计算距离平方 \(t = i^2 + j^2\)。
- 若 \(t < L_1^2\) 或 \(t > L_2^2\)，跳过。
- 若 \(\gcd(i, j) \neq 1\)，跳过（连线经过中间整点）。
- 若合法，累加 \(2 \times (W+1-i) \times (H+1-j)\) 到答案（两个方向）。
- 输出答案。
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(W \cdot H \cdot \log(\min(W, H)))\)，其中 \(\log\) 来自 \(\gcd\) 计算，\(W, H \le 1000\)，完全可行。
- 空间复杂度：\(O(1)\)。
-
枚举 + 互质判定的核心思想：
- 几何转换：将“两点间无其他柱子”等价为“水平和垂直位移互质”。因为线段经过的整数点个数为 \(\gcd(i, j) - 1\)（不包括端点），只有 \(\gcd(i, j) = 1\) 时，中间无整点。
- 长度条件：\(L_1 \le \sqrt{i^2+j^2} \le L_2\)，为了避免浮点数误差，直接比较平方 \(L_1^2 \le i^2+j^2 \le L_2^2\)。
- 计数对称性：对于每个满足条件的 \((i, j)\)，向量 \((i, -j)\) 也满足条件，且对应不同的点对，因此乘 \(2\)。对于水平或垂直向量，没有对称乘 \(2\) 的重复（因为方向相反的点对已被计入），所以需要单独处理。
- 适用场景：适用于格点问题中统计“可见点对”（两整点之间不经过其他整点）的数量，核心是利用 \(\gcd\) 判定可见性。
【算法标签】
普及 #数学
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long // 使用 long long 防止答案溢出
int w, h, l1, l2, ans; // 牧场宽、高，电线长度范围下限、上限，答案
// 求最大公约数，用于判断两点连线是否经过其他整点
int gcd(int a, int b)
{
if (b == 0)
return a;
else
return gcd(b, a % b);
}
signed main()
{
cin >> w >> h >> l1 >> l2;
// 特殊情况：长度范围为 1 时，处理水平或垂直的相邻柱子
// 此时两点连线长度为 1，且不可能经过其他柱子，直接计数
// 水平相邻点对：w 列间隙 * (h+1) 行
// 垂直相邻点对：h 行间隙 * (w+1) 列
if (l1 <= 1 && l2 >= 1)
ans = w * (h + 1) + h * (w + 1);
// 枚举两点在水平和垂直方向上的差值 (i, j)
// i 为水平距离（列差），j 为垂直距离（行差），且均大于 0，代表斜向或非相邻情况
for (int i = 1; i <= w; i++)
for (int j = 1; j <= h; j++)
{
// 计算实际欧几里得距离的平方
int t = i * i + j * j;
// 若距离平方不在 [l1^2, l2^2] 范围内，则长度不合要求，跳过
if (t > l2 * l2 || t < l1 * l1)
continue;
// 若 gcd(i, j) != 1，说明两点连线经过其他整数点（柱子），不合要求，跳过
if (gcd(i, j) != 1)
continue;
// 统计所有满足条件的点对
// 水平方向有 (w+1-i) 种起始列位置，垂直方向有 (h+1-j) 种起始行位置
// 每个 (i, j) 向量对应两种方向（斜率为正和斜率为负），故乘以 2
ans += 2 * (w + 1 - i) * (h + 1 - j);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
【运行结果】
2 1 2 3
2
浙公网安备 33010602011771号