题解：洛谷 P9976 Farmer John Actually Farms

【题目来源】

洛谷：P9976 [USACO23DEC] Farmer John Actually Farms B - 洛谷

【题目描述】

Farmer John 在他的农场上种植了 \(N\)（\(1 \leq N \leq 2\cdot 10^5\)）株芦笋！然而，其中有一些植物存在基因差异，长得比其他植物快。第 \(i\) 株植物的初始高度为 \(h_i\) 英寸，之后每天，第 \(i\) 株植物长高 \(a_i\) 英寸。

FJ 更加钟爱其中的一些植物。他将给你一组由不同整数组成的数组 \(t_1,\dots,t_N\)，这个数组包含 \(0\) 到 \(N-1\) 的全部整数。他希望恰好有 \(t_i\) 株植物比第 \(i\) 株植物高。找到最少要经过多少天，才能满足 FJ 的要求，或者报告这个要求是不可能满足的。

【输入】

每个测试点中包含多组测试数据。

第一行为一个整数 \(T\)，代表测试数据组数（\(1 \leq T \leq 10\)）。

对于每一组测试数据，第一行一个整数 \(N\)（\(1 \leq N \leq 2\cdot 10^5\)），表示植物数量。

第二行包含 \(N\) 个整数 \(h_i\)（\(1 \leq h_i \leq 10^9\)），表示第 \(i\) 株植物的初始高度。

第三行包含 \(N\) 个整数 \(a_i\)（\(1 \leq a_i \leq 10^9\)），表示第 \(i\) 株植物每天增长的高度。

第四行包含 \(N\) 个不同的整数 \(t_i\)，表示 FJ 给你的数组。

保证所有测试数据的 \(N\) 的和不超过 \(2\cdot 10^5\)。

【输出】

输出 \(T\) 行，每行表示一组测试数据的答案。如果要求不可能满足，输出 \(-1\)。

请注意，由于这个问题涉及的整数大小较大，可能需要使用 64 位整数数据类型（例如，在 C/C++ 中使用 long long 类型）。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：有 \(N\) 株植物，每株初始高度 \(h_i\)，每日生长 \(a_i\)。给定目标排名数组 \(t_i\)（\(t_i\) 表示最终恰好有 \(t_i\) 株植物比第 \(i\) 株高），求满足所有植物排名要求的最小天数 \(d\)，或判断不可能。由于 \(t_i\) 是 \(0 \sim N-1\) 的一个排列，因此排名要求等价于：按最终高度从低到高排序后，每株植物的位置必须等于 \(t_i\)。也就是说，最终高度的相对顺序是固定的（由 \(t_i\) 决定）。问题转化为：找到最小的 \(d\)，使得对所有植物按 \(t_i\) 排序后，其高度 \(H_i(d) = h_i + a_i \cdot d\) 严格递增。
算法选择：
- 排序 + 不等式约束：将植物按 \(t_i\) 从小到大排序（即最终高度从低到高的顺序）。对于排序后相邻的两株植物 \(i\) 和 \(i+1\)，必须满足 \(H_i(d) < H_{i+1}(d)\)。这给出了关于 \(d\) 的不等式，每个不等式形如 \((a_i - a_{i+1}) \cdot d < h_{i+1} - h_i\)。根据不同情况（\(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) 的大小），可以得到 \(d\) 的下界或上界，或无解。最终取所有下界的最大值和所有上界的最小值，若下界 \(\le\) 上界则可行，最小天数为下界（若为负数则取 0）。
关键步骤（基于代码逻辑）：
- 读入并排序：将植物按 \(t\) 值从小到大排序（排序后，\(t_i\) 即为索引位置）。
- 初始化：maxn = 0（下界），minn = INF（上界）。
- 遍历相邻对：对于 \(i\) 从 1 到 \(N-1\)，设 \(a = h_i, b = a_i, c = h_{i+1}, d = a_{i+1}\)。需要满足 \(a + b \cdot x < c + d \cdot x\)，即 \((b - d) \cdot x < c - a\)，其中 \(x\) 为天数。
  - 若 \(b == d\)：则不等式变为 \(0 < c - a\)。若 \(a \ge c\)，则永远无法满足，输出 -1；若 \(a < c\)，则恒成立。
  - 若 \(b > d\)：\(x < \frac{c - a}{b - d}\) 且需满足 \(a < c\) 才能在某天追上。计算下界 \(x = \lfloor (c-a)/(b-d) \rfloor + 1\)，更新 maxn。
  - 若 \(b < d\)：\(x > \frac{c - a}{d - b}\)，若 \(a > c\)，则计算上界 \(x = \lfloor (a-c-1)/(d-b) \rfloor\)，更新 minn；若 \(a \le c\)，则 \(i\) 永远比 \(i+1\) 矮，正符合排序要求，无额外约束。
- 判断可行性：若 maxn > minn，则无解输出 -1；否则输出 maxn（最小天数）。
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，主要来自排序。
- 空间复杂度：\(O(N)\)。
排序 + 不等式约束的核心思想：
- 排名转顺序：将每株植物的目标排名 \(t_i\) 看作其最终在高度排序中的位置。按 \(t_i\) 排序后，相邻植物的高度必须严格递增。
- 线性函数比较：每株植物高度是 \(d\) 的一次函数 \(h_i + a_i d\)。两个一次函数的大小关系随 \(d\) 变化最多改变一次，因此约束可转化为 \(d\) 的区间（下界或上界）。
- 区间交：所有约束的交集即为可行天数集合。若交集非空，最小天数即为下界的最大值（至少为 0）。
- 严格不等式的整数处理：对于 \(a + b x < c + d x\)，移项后需注意除法和取整方向，确保严格不等号成立。
- 适用场景：适用于多个线性增长实体，要求其在某个时间点满足特定排序，且排名由 \(t\) 数组给定。核心是利用线性函数的单调性转化为区间约束。

【解题思路】

【算法标签】

普及 #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T, n;
struct node {
    long long h, a, t;
}p[200005];
bool cmp (node x, node y){
    return x.t<y.t;
}
int main()
{
    cin >> T;  // 输入T
    while (T--) {  // 遍历T次询问
        cin >> n;  // 输入n
        for (int i=1; i<=n; i++) cin >> p[i].h;  // 使用结构体数组，记录每个植物的h、a和t
        for (int i=1; i<=n; i++) cin >> p[i].a;
        for (int i=1; i<=n; i++) cin >> p[i].t;
        if (n==1) {  // 如果n==1特判，输出0
            cout << 0 << endl;
            continue;
        }
        int minn=1e9, maxn=-1e9;  // 定义满足条件的最大值和最小值
        sort(p+1, p+n+1, cmp);  // 按照t从小到大方式排序
        int mark=0;  // 定义标记位
        for (int i=1; i<n; i++) {  // 遍历n-1个植物
            int a=p[i].h, b=p[i].a, c=p[i+1].h, d=p[i+1].a;  // 定义变量简化代码长度
            if (b==d) {  // 当b==d时
                if (a<=c) {  // 如果a小于等于c，永远无法追上，输出-1
                    cout << -1 << endl;
                    mark = 1;
                    break;
                } else {  // 否则，只需0天就可以满足
                    maxn = max(maxn, 0);
                }
            }
            if (b>d) {  // 当b>d时
                if (a<=c) {  // 如果a小于等于c，则在某天之后就一直超越
                    int x = (c-a)/(b-d)+1;  // 相减后相除的结果是相等的情况，还需要再加1
                    maxn = max(maxn, x);
                } else {  // 否则，只需0天就可以满足
                    maxn = max(maxn, 0);
                }
            }
            if (b<d) {  // 当b<d时
                if (a<=c) {  // 如果a小于等于c，永远无法追上，输出-1
                    cout << -1 << endl;
                    mark=1;
                    break;
                } else {
                    int x = (a-c-1)/(d-b);  // 否则开始超越，但到某天后就不再满足
                    maxn = max(maxn, 0);
                    minn = min(minn, x);  // 记录该minn
                }
            }
        }
        if (mark==1) continue;
        if (maxn>minn) {  // 要求maxn>minn，即满足条件maxn < x < minn，才有结果输出，否则输出-1
            cout << -1 << endl;
            continue;
        } else {
            cout << maxn << endl;
        }
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-30 09:20 团爸讲算法阅读(7) 评论(0) 收藏举报

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