题解：洛谷 P1075 质因数分解

【题目来源】

洛谷：P1075 [NOIP 2012 普及组] 质因数分解 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

已知正整数 \(n\) 是两个不同的质数的乘积，试求出两者中较大的那个质数。

【输入】

输入一个正整数 \(n\)。

【输出】

输出一个正整数 \(p\)，即较大的那个质数。

【输入样例】

21

【输出样例】

7

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个正整数 \(n\)，它是两个不同质数的乘积。要求找出这两个质数中较大的那个。由于 \(n\) 的质因数只有两个，因此本题的实质是寻找 \(n\) 的最小质因数，较大的质因数即为 \(n\) 除以该最小质因数。

2. 算法选择：

   • 试除法找最小质因子：从 \(2\) 开始递增枚举整数 \(i\)，第一个能整除 \(n\) 的 \(i\) 一定是较小的那个质数。此时较大的质数即为 \(n / i\)。由于 \(n\) 是两个质数的乘积，因此较小的质数一定不超过 \(\sqrt{n}\)，所以枚举到 \(\sqrt{n}\) 即可，无需判断 \(i\) 和 \(n/i\) 是否为质数（因为题意保证 \(n\) 是两个质数的乘积，故找到的因子必为质数）。
   • 复杂度优化：只需遍历到 \(\sqrt{n}\)，无需对因子进行额外的素数判定。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取正整数 \(n\)。
   • 枚举：从 \(i = 2\) 开始，依次检查 \(i\) 是否能整除 \(n\)。
     • 若能整除（即 \(n \% i == 0\)），则 \(i\) 就是较小的质数，较大的质数为 \(n / i\)，直接输出并结束程序。
     • 若不能整除，则 \(i\) 自增继续尝试。
   • 输出：输出较大的质数 \(n / i\)。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\sqrt{n})\)，最坏情况下需要遍历到 \(\sqrt{n}\)，对于 \(n \le 2\times 10^9\) 是可行的。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数个变量。

5. 数学性质简化：

   • 算术基本定理：任何大于 1 的整数都可以唯一分解为质数的乘积。题目保证 \(n\) 是两个不同质数的乘积，因此 \(n\) 的质因数分解形式唯一为 \(n = p \times q\)，其中 \(p < q\) 且均为质数。
   • 因子对称性：\(p\) 一定是 \(n\) 的所有大于 1 的因子中最小的那一个。因此，从 2 开始递增找到的第一个因子就是 \(p\)，无需遍历到 \(n\) 或进行额外的质数检测。
   • 适用场景：这类根据唯一分解定理求解的简单质因数分解问题，核心是利用因子成对出现的性质，从最小因子入手，直接得出另一个因子。

【算法标签】

普及- #质数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件
using namespace std;

// 判断素数的辅助函数
bool fun(int n) {
    if (n <= 1) return false;  // 1和负数不是素数
    for (int i = 2; i < sqrt(n); i++) {  // 只需检查到√n的范围
        if (n % i == 0) return false;   // 发现能整除的因子
    }
    return true;  // 未发现因子则是素数
}

int main() {
    int n;  // 存储输入的正整数
    cin >> n;  // 读取输入

    // 遍历2到n寻找满足条件的因子
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {  // 如果i是n的因子
            // 检查i和n/i是否都是素数
            if (fun(i) && fun(n / i)) {
                cout << n / i;  // 输出较大的素数因子
                break;  // 找到后立即退出循环
            }
        }
    }

    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

21
7