题解：洛谷 P9956 Daisy Chains

【题目来源】

洛谷：P9956 [USACO20DEC] Daisy Chains B - 洛谷

【题目描述】

每天，作为她绕农场行走的一部分，奶牛 Bessie 会经过她最喜爱的草地，其中种有\(N\)朵花（五颜六色的雏菊），编号为 \(1\dots N(1\le N\le 100)\)，排列成一行。花\(i\)有\(p_i\)朵花瓣\((1\le p_i\le 1000)\)。

作为一名崭露头角的摄影家，Bessie 决定给这些花拍些照片。具体地说，对于每一对满足\(1\le i\le j\le N\) 的花 \((i,j)\)，Bessie 会给从花\(i\) 到花 \(j\)之间的所有花（包括 \(i\)和\(j\)）拍一张照。

后来 Bessie 查看这些照片时注意到有些照片里存在「平均」的花——一朵恰好有 \(P\) 朵花瓣的花，其中\(P\) 等于照片中所有花的花瓣数量的平均值。

Bessie 的照片中有几张存在平均的花？

【输入】

输入的第一行包含 \(N\)。第二行包含 \(N\)个空格分隔的整数 \(p_1,\dots,p_N\)。

【输出】

输出存在平均的花的照片数量。

【输入样例】

4
1 1 2 3

【输出样例】

6

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N \le 100\) 朵花排成一行，每朵花有花瓣数 \(p_i\)。对于所有连续子区间 \([i, j]\)（\(1 \le i \le j \le N\)），若该区间内存在至少一朵花，其花瓣数等于该区间所有花花瓣数的平均值，则称这张照片“存在平均的花”。求满足条件的照片总数。本质是一个区间枚举 + 平均值判定问题，由于 \(N\) 很小，直接枚举所有区间并检查即可。

2. 算法选择：

   • 三重循环枚举：枚举所有区间 \([i, j]\)，计算区间和 \(sum\) 与长度 \(len = j - i + 1\)。若 \(sum\) 能被 \(len\) 整除，则计算平均值 \(avg = sum / len\)，然后遍历区间内所有元素，检查是否有 \(p_k == avg\)。一旦找到，答案加 1 并跳出内层检查循环。
   • 前缀和优化（可选）：可使用前缀和数组 \(pref\) 将区间和计算降为 \(O(1)\)，但 \(N=100\) 时直接累加也无性能问题。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 \(N\) 和数组 \(p[1..N]\)。
   • 枚举左端点 \(i\) 从 1 到 \(N\)：
     • 初始化 \(sum = 0\)。
     • 枚举右端点 \(j\) 从 \(i\) 到 \(N\)：
       • \(sum += p[j]\)，\(len = j - i + 1\)。
       • 若 \(sum \% len \neq 0\)，则平均值非整数，跳过（因为花瓣数必须为整数）。
       • 否则，计算 \(avg = sum / len\)，然后遍历 \(k\) 从 \(i\) 到 \(j\)，若存在 \(p[k] == avg\)，则 ans++ 并跳出遍历。
   • 输出答案：ans。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^3)\)，最坏情况 \(N=100\)，约 \(10^6\) 次操作，完全可行。
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储花瓣数。

5. 枚举 + 平均值判定的核心思想：

   • 直接模拟：由于数据范围小，最直观的做法是枚举所有区间并检查条件，无需复杂优化。
   • 整数判定：平均值必须是整数才可能等于某朵花的花瓣数（花瓣数为整数），因此用 \(sum \% len == 0\) 进行剪枝，避免浮点数运算。
   • 存在性检查：只需知道区间内是否存在至少一个等于平均值的元素，找到即可停止，无需统计个数。
   • 适用场景：适用于 \(N\) 较小（\(\le 200\)）的连续子区间统计问题，核心是枚举所有区间并维护区间和。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[105], ans=0;
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n朵花
        cin >> a[i];  // 记录每朵花的花瓣数量
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 从1开始遍历
        int avg=0, sum=0;  // 每次初始化花瓣平均数和总数为0
        for (int j=i; j<=n; j++) {  // j从i开始向后遍历
            sum += a[j];  // 计算花瓣总数
            if (sum % (j-i+1)!=0) continue;  // 如果平均数不为整数直接跳过（花的花瓣数不可能是小数）
            avg = sum / (j-i+1);  // 计算平均花瓣数
            for (int k=i; k<=j; k++) {  // 从i遍历到j
                if (a[k]==avg) {  // 如果有任一朵花恰好有p朵花瓣的花
                    ans += 1;  // 照片数自增1
                    break;  // 无需判断该照片中的其他花，直接结束循环
                }
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;  // 打印结果
    return 0;
}

【运行结果】

4
1 1 2 3
6