题解：洛谷 P1134 阶乘问题

【题目来源】

洛谷：P1134 [USACO3.2] 阶乘问题 - 洛谷

【题目描述】

也许你早就知道阶乘的含义，\(N\) 阶乘是由 \(1\) 到 \(N\) 相乘而产生，如：

\[12!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10\times 11\times 12=479{,}001{,}600 \]

\(12\) 的阶乘最右边的非零位为 \(6\)。

写一个程序，计算 \(N\ (1\le N\le5\times 10^7)\) 阶乘的最右边的非零位的值。

注意：\(10{,}000{,}000!\) 的末尾有 \(2499999\) 个零。

【输入】

仅一行包含一个正整数 \(N\)。

【输出】

一个整数，表示最右边的非零位的值。

【输入样例】

12

【输出样例】

6

【核心思想】

1. 问题分析：求 \(N!\)（\(N \le 5 \times 10^7\)）的最右边非零数字，即阶乘结果末尾连续零去掉后的最后一个数字。直接计算阶乘会溢出且速度极慢，需要利用数学性质进行优化。

2. 算法选择：

   • 模拟乘法 + 末尾去零：在计算过程中，每次乘以 \(i\) 后，不断将末尾的零去掉（即除以 10），并取模一个大数（如 \(10^9\)）保持数值可控。最后输出结果的个位数字。这种方法虽然简单，但对于 \(N\) 很大的情况仍可能较慢，需要进一步优化（但本题数据下可接受）。
   • 更优数学方法：统计因子 2 和 5 的数量，用因子 2 抵消因子 5 后，计算剩余数字的乘积模 10。但代码中使用的是直接模拟并去零取模的方法。

3. 关键步骤（基于代码）：

   • 初始化：mul = 1，表示当前累积的阶乘值（去零后）。
   • 循环：i 从 2 到 \(N\)：
     • mul = mul * i。
     • 用 while (mul % 10 == 0) mul /= 10 去掉末尾所有的零。
     • mul %= 1000000000，将数值截断到 \(10^9\) 以内，避免溢出（因为只需保留非零末尾位）。
   • 输出：mul % 10（个位数字）。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \times \text{去零次数})\)，但去零次数有限，且 \(N\) 最大 \(5\times 10^7\) 时可能较慢（实际测试可能超时），需要更高效的数学方法。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)。

5. 数学优化与末尾去零：

   • 为什么去零：末尾的零来自因子 10（即 2×5），去掉这些零后，剩余数字的个位就是所求。
   • 取模的必要性：如果不取模，\(mul\) 会变得极大（超过 64 位），取模 \(10^9\) 可以保留足够多的低位信息，因为最终只需要个位，而 \(10^9\) 的倍数对个位无影响。
   • 性能问题：当 \(N\) 很大（如 \(5 \times 10^7\)）时，\(O(N)\) 的循环可能仍较慢，更优的做法是统计因子 2 和 5 的数量，用因子 2 抵消因子 5 后，计算剩余乘积模 10 的循环节（每 10 个数一个周期），可将复杂度降至 \(O(\log N)\)。
   • 适用场景：这种“求大阶乘非零末尾位”的问题，是数论中的经典问题，常用于考察数学简化和取模技巧。

【解题思路】

【算法标签】

普及 #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    long long mul = 1;  // 计算阶乘起始数
    for (int i=2; i<=n; i++) {  // 进行阶乘计算
        mul = mul * i;
        while (mul%10==0) mul /= 10;  // 如果末尾为0，就用辗转相除法去掉0
        mul %= 1000000000;  // 将mul控制在int范围内
    }
    cout << mul%10;  // 输出mul的个位数
    return 0;
}

【运行结果】

12
6