题解：洛谷 P9955 Do You Know Your ABCs

【题目来源】

洛谷：P9955 [USACO20DEC] Do You Know Your ABCs? B - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

Farmer John 的奶牛正在 "mooZ" 视频会议平台上举行每日集会。她们发明了一个简单的数字游戏，为会议增添一些乐趣。

Elsie 有三个正整数 \(A\)、\(B\) 和\(C(A\le B\le C)\)。这些数字是保密的，她不会直接透露给她的姐妹 Bessie。她告诉 Bessie 七个范围在\(1\dots 10^9\)之间的整数（不一定各不相同），并宣称这是 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(A+B\)、\(B+C\)、\(C+A\)和 \(A+B+C\)的某种排列。

给定这七个整数，请帮助 Bessie 求出 \(A\)、\(B\)和 \(C\)。可以证明，答案是唯一的。

【输入】

输入一行，包含七个空格分隔的整数。

【输出】

输出 \(A\)、\(B\) 和\(C\)，用空格分隔。

【输入样例】

2 2 11 4 9 7 9

【输出样例】

2 2 7

【核心思想】

1. 问题分析：给定七个整数，它们是三个正整数 \(A \le B \le C\) 以及两两之和 \(A+B, B+C, C+A\) 与三者之和 \(A+B+C\) 的某种排列。要求唯一确定 \(A, B, C\)。由于所有数均为正且有序，这七个数的排序具有固定结构：最小的两个数必定是 \(A\) 和 \(B\)，最大的数必定是 \(A+B+C\)。利用这一性质，只需排序后取最小两个数作为 \(A\) 和 \(B\)，再从最大值中减去 \(B\)（或取第二大的数减去 \(A\)）即可得到 \(C\)。

2. 算法选择：

   • 排序 + 数学关系：对七个数升序排序，利用和的性质直接解出。
   • 关键观察：因为 \(A \le B \le C\)，所以 \(A \le B \le A+B \le A+C \le B+C \le A+B+C\)（其中 \(A+B\) 与 \(C\) 的大小关系不定，但 \(A+B\) 不一定小于 \(C\)，不过前两个最小的一定是 \(A\) 和 \(B\)，最大的一定是总和）。因此 \(A = \min\)，\(B = \text{第二小}\)，\(C = \text{总和} - A - B\)。

3. 关键步骤：

   • 读入：读取 7 个整数存入数组 num[1..7]。
   • 排序：将数组升序排列。
   • 确定 \(A\) 和 \(B\)：A = num[1]，B = num[2]（最小的两个数）。
   • 确定 \(C\)：总和为最大数 num[7]，因此 C = num[7] - A - B（等价于代码中的 c = num[6] - b，因为 num[7] - A - B = (A+B+C) - A - B = C，而 num[6] - B 并不总是等于 \(C\)，但在此题中由于 \(A\) 和 \(B\) 可能相等且结构特殊，该写法在某些情况下可行，但更安全的方式是 c = num[7] - a - b）。
   • 输出：输出 \(A, B, C\)。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(1)\)（排序 7 个元素）。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)。

5. 排序 + 和的性质的核心思想：

   • 最小值定 \(A, B\)：由于 \(A \le B \le C\)，所有数中 \(A\) 必然最小，\(B\) 必然第二小（即使 \(A=B\)，两个最小值也是 \(A\) 和 \(B\)）。
   • 最大值定总和：\(A+B+C\) 一定是七个数中的最大值。
   • 唯一性保证：题目保证答案唯一，因此利用上述关系可直接解出，无需枚举。
   • 适用场景：适用于给定若干个数，它们是由一组未知数及其部分和构成的集合，且未知数有大小关系。核心是识别最值和总和的位置。

【解题思路】

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b, c;        // 三个未知数 A, B, C
int num[10];        // 存储输入的7个数字

int main()
{
    // 输入7个数字
    for (int i = 1; i <= 7; i++)
    {
        cin >> num[i];
    }

    // 对7个数字进行升序排序
    sort(num + 1, num + 7 + 1);

    // 确定A和B的值（最小的两个数）
    a = num[1];  // A是最小的数
    b = num[2];  // B是第二小的数

    // 确定C的值：利用A+B+C = 最大值，且A+B, A+C, B+C也在数组中
    // 排序后第6个数是B+C，减去B得到C
    c = num[6] - b;

    // 输出A, B, C的值
    cout << a << " " << b << " " << c << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

2 2 11 4 9 7 9
2 2 7