题解：洛谷 P1614 爱与愁的心痛

【题目来源】

洛谷：P1614 爱与愁的心痛 - 洛谷

【题目描述】

最近有 \(n\) 个不爽的事，每句话都有一个正整数刺痛值（心理承受力极差）。爱与愁大神想知道连续 \(m\) 个刺痛值的和的最小值是多少，但是由于业务繁忙，爱与愁大神只好请你编个程序告诉他。

【输入】

第一行有两个用空格隔开的整数，分别代表 \(n\) 和 \(m\)。

第 \(2\) 到第 \((n+1)\) 行，每行一个整数，第 \((i+1)\) 行的整数 \(a_i\) 代表第 \(i\) 件事的刺痛值 \(a_i\)。

【输出】

输出一行一个整数，表示连续 \(m\) 个刺痛值的和的最小值是多少。

【输入样例】

8 3
1
4
7
3
1
2
4
3

【输出样例】

6

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个长度为 \(n\) 的序列，需要找出所有长度为 \(m\) 的连续子序列中，和的最小值。本质是一个固定长度滑动窗口的最小和问题。由于 \(n\) 和 \(m\) 通常不大（如 \(n \le 3000\)），可以直接枚举所有子序列并求和，也可以使用前缀和或滑动窗口优化。

2. 算法选择：

   • 双重循环枚举：对于每个起始位置 \(i\)（\(0 \le i \le n-m\)），计算子序列 \(a[i..i+m-1]\) 的和，并更新最小值。时间复杂度 \(O(n \cdot m)\)，在 \(n \le 3000\) 时完全可行。
   • 前缀和优化（可选）：预处理前缀和数组 \(prefix\)，则子序列和 \(sum(i, i+m-1) = prefix[i+m] - prefix[i]\)，可将时间复杂度降为 \(O(n)\)。但本题数据规模下，双重循环已经足够。

3. 关键步骤：

   • 读入与存储：读取 \(n\)、\(m\) 和序列 \(a[0..n-1]\)。
   • 初始化最小值：将 min_sum 设置为一个很大的数（如 INT_MAX）。
   • 枚举所有长度为 \(m\) 的子序列：
     • 外层循环 \(i\) 从 \(0\) 到 \(n-m\)，表示子序列的起始位置。
     • 内层循环计算 \(a[i]\) 到 \(a[i+m-1]\) 的和。
     • 将当前和与 min_sum 比较，取较小值。
   • 输出：min_sum。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot m)\)，对于 \(n \le 3000\) 可接受。
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，用于存储序列。

5. 模拟与窗口求和：

   • 固定窗口：本题中 \(m\) 是固定的，因此只需要考虑长度恰好为 \(m\) 的连续子序列。
   • 暴力枚举：对于入门题，直接枚举所有可能窗口并求和是最直观的思路，也容易理解和实现。
   • 边界处理：注意循环上限为 \(n-m\)（包含），确保窗口不越界。
   • 适用场景：这种固定长度窗口的最值问题，是滑动窗口算法的入门基础。当数据规模较小时，暴力枚举是可靠的解法。

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

int a[3000];             // 定义全局数组：存储输入的数字序列

int main()
{
    int n, m;            // 定义变量：n-数字总数，m-子序列长度
    int i, j;            // 定义循环变量
    int sum = 0;         // 定义变量：当前子序列的和
    int min = 2147483647;// 定义变量：最小子序列和，初始为最大整数值

    cin >> n >> m;       // 输入数字总数和子序列长度

    // 输入数字序列
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }

    // 特殊情况处理：当子序列长度等于总长度时
    if (m == n)
    {
        // 直接计算整个序列的和
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            sum += a[i];
        }
        min = sum;       // 整个序列的和就是最小值
    }
    else
    {
        // 常规情况：遍历所有可能的子序列
        for (i = 0; i <= n - m; i++)
        {
            sum = 0;     // 重置当前子序列和

            // 计算当前子序列的和
            for (j = i; j < i + m; j++)
            {
                sum += a[j];
            }

            // 更新最小子序列和
            if (sum < min)
                min = sum;
        }
    }

    cout << min;         // 输出最小子序列和

    return 0;            // 程序正常结束
}

【运行结果】

8 3
1
4
7
3
1
2
4
3
6