题解：洛谷 P1789 插火把

【题目来源】

洛谷：P1789 【Mc生存】插火把 - 洛谷

【题目描述】

话说有一天 linyorson 在“我的世界”开了一个 \(n\times n\) 的方阵，现在他有 \(m\) 个火把和 \(k\) 个萤石，分别放在 \((x_1,y_1)\sim (x_m,y_m)\) 和 \((o_1,p_1)\sim (o_k,p_k)\) 的位置，没有光并且没放东西的地方会生成怪物。请问在这个方阵中有几个点会生成怪物？

P.S. 火把的照亮范围是：

    |暗|暗| 光 |暗|暗|
    |暗|光| 光 |光|暗|
    |光|光|火把|光|光|
    |暗|光| 光 |光|暗|
    |暗|暗| 光 |暗|暗|

萤石：

    |光|光| 光 |光|光|
    |光|光| 光 |光|光|
    |光|光|萤石|光|光|
    |光|光| 光 |光|光|
    |光|光| 光 |光|光|

【输入】

输入共 \(m+k+1\) 行。

第一行为 \(n,m,k\)。

第 \(2\) 到第 \(m+1\) 行分别是火把的位置 \(x_i,y_i\)。

第 \(m+2\) 到第 \(m+k+1\) 行分别是萤石的位置 \(o_i,p_i\)。

注：可能没有萤石，但一定有火把。

【输出】

有几个点会生出怪物。

【输入样例】

5 1 0
3 3

【输出样例】

12

【核心思想】

1. 问题分析：在一个 \(n \times n\) 的网格中，放置了若干火把和萤石。火把照亮一个十字形加四个对角格子的区域（共 13 格，但需考虑边界），萤石照亮一个 \(5 \times 5\) 的正方形区域（共 25 格，需考虑边界）。需要统计网格中没有被任何光源照亮的格子数量（这些格子会生成怪物）。本质是一个二维网格覆盖标记问题，可以使用布尔数组标记所有被照亮的格子，最后统计未标记的格子数。

2. 算法选择：

   • 标记数组模拟：使用一个二维布尔数组 light[1..n][1..n] 初始为 false，表示未被照亮。对于每个光源，根据其类型和位置，将对应照亮范围内的格子标记为 true。最后遍历整个网格，统计 false 的数量。
   • 边界处理：在标记时需检查坐标是否在 \([1, n]\) 范围内，避免数组越界。

3. 关键步骤：

   • 读入与初始化：读取 \(n, m, k\)，将 light 数组全部置为 0（未照亮）。
   • 处理火把：对于每个火把位置 (x, y)：
     • 标记十字形区域：(x±1, y)、(x, y±1) 以及 (x±2, y)、(x, y±2)（在边界内）。
     • 标记四个对角格子：(x-1, y-1)、(x-1, y+1)、(x+1, y-1)、(x+1, y+1)。
     • 注意：火把本身位置也照亮（但题目中可能隐含，代码中虽未显式标记火把自身，但十字形包括了自身？实际上代码中 a[x][y] 并未显式置 1，但火把自身位置应视为被照亮，代码中通过 a[x-1][y-1] 等不包含自身，这是一个潜在的问题，需要补充 a[x][y] = 1）。根据常见题意，火把所在格也应被照亮。
   • 处理萤石：对于每个萤石位置 (x, y)，标记 \([x-2, x+2] \times [y-2, y+2]\) 范围内的所有格子（在边界内）。
   • 统计：遍历所有格子，统计 light[i][j] == 0 的数量并输出。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^2 + (m+k) \cdot R)\)，其中 \(R\) 是每个光源的照亮面积（常数），\(n \le 100\)，完全可行。
   • 空间复杂度：\(O(n^2)\)。

5. 模拟与网格覆盖：

   • 标记法的通用性：用数组模拟网格状态是处理此类“覆盖/照亮”问题的标准方法。
   • 边界检查：在标记过程中必须检查坐标是否在 \([1, n]\) 内，否则会导致数组越界。
   • 注意火把自身：火把所在的格子显然会被照亮，代码中应显式将 a[x][y] 设为 1。
   • 适用场景：这类问题常见于模拟题，核心是准确理解光源的照亮形状并将其转化为网格标记。

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

int main()
{
    int n, m, k;                // 定义变量：网格大小n×n，m个路灯，k个临时照明
    int a[105][105] = {0};      // 定义二维数组：标记网格照明状态（0未照亮，1照亮）
    int x, y;                   // 定义变量：临时存储坐标
    int ans = 0;                // 定义变量：未被照亮的格子计数

    cin >> n >> m >> k;         // 输入网格大小、路灯数和临时照明数

    // 处理路灯照明范围
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        cin >> x >> y;          // 输入路灯坐标

        // 照亮十字区域（上下左右各两格）
        for (int j = x - 2; j <= x + 2; j++)
            if (j >= 0) a[j][y] = 1;
        for (int j = y - 2; j <= y + 2; j++)
            if (j >= 0) a[x][j] = 1;

        // 照亮四个对角格子
        a[x - 1][y - 1] = 1;
        a[x + 1][y - 1] = 1;
        a[x - 1][y + 1] = 1;
        a[x + 1][y + 1] = 1;
    }

    // 处理临时照明范围
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        cin >> x >> y;          // 输入临时照明坐标

        // 照亮5×5的正方形区域
        for (int p = x - 2; p <= x + 2; p++)
        {
            for (int q = y - 2; q <= y + 2; q++)
            {
                if (p >= 0 && q >= 0)
                    a[p][q] = 1;
            }
        }
    }

    // 统计未被照亮的格子数量
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (a[i][j] == 0)
                ans++;
        }
    }

    cout << ans;                // 输出未被照亮的格子总数

    return 0;                   // 程序正常结束
}

【运行结果】

5 1 0
3 3
12