题解：洛谷 B4273 最大的矩形纸片

【题目来源】

洛谷：B4273 [蓝桥杯青少年组省赛 2023] 最大的矩形纸片

【题目描述】

一张半边参差不齐的网格纸（网格边长均为 \(1\)），有一边是完整没有破损的。现要从中剪出一片面积最大的矩形纸片。

给定网格纸中完整边的长度 \(N\)（\(1 \leq N \leq 1\,000\,000\)），以及网格中每一列残存部分的高度（\(1 \leq\) 高度 \(\leq 10\,000\)），输出能够剪出的最大矩形纸片面积。

【输入】

第一行输入一个正整数 \(N\)（\(1 \leq N \leq 1\,000\,000\)），表示纸片完整边的长度。

第二行输入 \(N\) 个正整数（\(1 \leq\) 正整数 \(\leq 10\,000\)），表示每列格子残存部分的高度，两个正整数之间用一个空格隔开。

【输出】

输出一个正整数，表示能够剪出的最大矩形纸片面积。

【输入样例】

6
3 2 1 4 5 2

【输出样例】

8

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个由 \(N\) 列残存高度构成的直方图，要求在其中找到一个面积最大的矩形，该矩形需完全位于各列高度的区域内。这与经典的“直方图中最大矩形”问题完全一致，本质是利用单调栈为每个高度找到其作为矩形高度时，能向左右扩展的最大宽度。

2. 算法选择：

   • 单调栈：本题 \(N\) 可达 \(10^6\)，需 \(O(N)\) 算法。使用单调栈可以高效地为每一列 \(i\) 找到其左右两边第一个严格小于该列高度 \(a_i\) 的位置，从而确定以 \(a_i\) 为高的最大宽度。
   • 具体策略：
     • 求左边界：从左到右扫描，维护栈内下标对应高度单调递增（用 >= 弹出，确保栈顶是左边最近高度小于当前高度的列）。左边界即为栈顶下标 +1（若栈为空则为 1）。
     • 求右边界：从右到左扫描，同理维护单调递增栈（用 >= 弹出），右边界即为栈顶下标 -1（若栈为空则为 \(N\)）。
     • 计算面积：枚举每一列 \(i\)，面积 = \(a_i \times (r_i - l_i + 1)\)，取最大值。

3. 关键步骤：

   • 读入与预处理：读取 \(N\) 和 \(N\) 个高度，存入数组 a[1..N]。
   • 单调栈求左边界 l[i]：
     • 从左向右遍历，当栈不空且栈顶高度 >= a[i] 时，弹出栈顶。
     • 若栈空，l[i] = 1；否则 l[i] = stk[tt] + 1。
     • 将 i 入栈。
   • 单调栈求右边界 r[i]：
     • 清空栈，从右向左遍历。
     • 当栈不空且栈顶高度 >= a[i] 时，弹出。
     • 若栈空，r[i] = n；否则 r[i] = stk[tt] - 1。
     • 将 i 入栈。
   • 枚举求最大值：遍历 \(i\)，更新 ans = max(ans, a[i] * (r[i] - l[i] + 1))。
   • 输出答案：ans。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)，每个元素最多入栈、出栈一次。
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，用于存储高度和栈。

5. 单调栈的核心思想：

   • 扩展逻辑：对于第 \(i\) 列，以它作为矩形高度时，能向左右扩展到第一个高度小于它的列之前，这是保证矩形内部所有列高度均 \(\ge a_i\) 的必要且充分条件。
   • 单调递增栈的作用：栈中维护的是高度递增的列下标序列，弹出所有高度 \(\ge\) 当前元素的元素后，栈顶即为左边最近的高度小于当前高度的列，从而快速确定左边界。右边界同理从右往左扫描。
   • 适用场景：单调栈是解决“直方图最大矩形”以及所有需要寻找数组中每个元素左右两侧第一个比它小（或大）元素位置问题的标准技巧。

【算法标签】

普及+ #单调栈

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int N = 1000005;

int a[N];          // a[i] 表示第 i 列残存部分的高度
int stk[N];        // 单调栈，存储列的下标
int tt;            // 栈顶指针
int n, ans;
int l[N], r[N];    // l[i] 表示以第 i 列为高的矩形能向左扩展的最远列下标
                   // r[i] 表示以第 i 列为高的矩形能向右扩展的最远列下标

signed main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    // 单调栈求左边界 l[i]
    // 维护栈内下标对应的高度单调递增（严格来说是非递减，此处用 >= 弹出）
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 当栈不空且栈顶高度 >= 当前高度时，栈顶元素无法作为左边界，弹出
        while (tt && a[stk[tt]] >= a[i])
            tt--;
        // 如果栈空，说明当前列左边没有比它矮的，左边界为 1
        // 否则左边界为栈顶下标 + 1（栈顶是左边最近的高度小于当前高度的列）
        l[i] = (tt == 0) ? 1 : stk[tt] + 1;
        // 当前列入栈
        stk[++tt] = i;
    }

    // 清空栈，准备求右边界
    tt = 0;

    // 单调栈求右边界 r[i]
    // 从右向左扫描，维护栈内下标对应的高度单调递增
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        // 当栈不空且栈顶高度 >= 当前高度时，栈顶元素无法作为右边界，弹出
        while (tt && a[stk[tt]] >= a[i])
            tt--;
        // 如果栈空，说明当前列右边没有比它矮的，右边界为 n
        // 否则右边界为栈顶下标 - 1（栈顶是右边最近的高度小于当前高度的列）
        r[i] = (tt == 0) ? n : stk[tt] - 1;
        // 当前列入栈
        stk[++tt] = i;
    }

    // 枚举每一列作为矩形高度，计算最大面积
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans = max(ans, a[i] * (r[i] - l[i] + 1));

    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

6
3 2 1 4 5 2
8