题解：洛谷 P9941 Even More Odd Photos

【题目来源】

洛谷：P9941 [USACO21JAN] Even More Odd Photos B - 洛谷

【题目描述】

Farmer John 正再一次尝试给他的 \(N\) 头奶牛拍照\((2\le N\le 1000)\)。

每头奶牛有一个范围在 $1\dots 100 $之内的整数的「品种编号」。Farmer John 对他的照片有一个十分古怪的构思：他希望将所有的奶牛分为不相交的若干组（换句话说，将每头奶牛分到恰好一组中）并将这些组排成一行，使得第一组的奶牛的品种编号之和为偶数，第二组的编号之和为奇数，以此类推，奇偶交替。

Farmer John 可以分成的最大组数是多少？

【输入】

输入的第一行包含 \(N\)。下一行包含 \(N\) 个空格分隔的整数，为 \(N\) 头奶牛的品种编号。

【输出】

输出 Farmer John 的照片中的最大组数。可以证明，至少存在一种符合要求的分组方案。

【输入样例】

7
1 3 5 7 9 11 13

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个整数，每个整数有奇偶性（奇数为1，偶数为0）。需要将所有数分成若干组，每组是一个非空集合（将每个数分到恰好一组），并将这些组排成一行，使得各组数字之和的奇偶性依次交替为：偶、奇、偶、奇……（即从偶数开始，奇偶交替）。求最大可能的分组数。本质是利用奇偶性特性进行贪心配对，与数值大小无关。

2. 算法选择：

   • 贪心 + 奇偶性调整：核心思想是最大化组数，因此应尽量让每组只包含一个数（单个奇数或偶数即可满足奇偶性要求），但当奇数和偶数的数量不满足交替序列的条件时，需要进行合并调整。
   • 奇偶性合成规则：偶数 + 偶数 = 偶数，奇数 + 奇数 = 偶数，偶数 + 奇数 = 奇数。因此：
     • 单个偶数可单独成组（组和为偶数）。
     • 单个奇数可单独成组（组和为奇数）。
     • 两个奇数可以合并成一个偶数（相当于将一个“奇数名额”转换为一个“偶数名额”）。

3. 关键步骤（基于代码逻辑）：

   • 统计：遍历所有数，统计奇数个数 odd 和偶数个数 even。
   • 调整（核心）：
     • 处理奇数过多：当 odd > even 时，交替序列（偶、奇、偶、奇…）需要偶数和奇数的数量要么相等（总数为偶数时），要么偶数比奇数多1（总数为奇数时）。为了让分组数最大，每对多余的奇数可以合并成一个偶数（两个奇数和为偶数），操作：odd -= 2，even += 1。循环直到 odd <= even。
     • 处理偶数过多：当 even > odd + 1 时，表明偶数太多了。为了最大化组数，需要将多余的偶数丢弃（即合并到其他组中，但不增加组数），使得 even = odd + 1。因为序列以偶数开头并以偶数结尾（如果总数为奇数）或奇偶数量相等（如果总数为偶数）时，偶数的最大数量只能是 odd + 1。
   • 输出答案：最终总组数 = odd + even。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)，仅需一次遍历统计奇偶个数，调整操作为常数次循环（每次减少2个奇数，最多循环 \(O(N)\) 次，但总体仍为 \(O(N)\)）。
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需两个计数器。

5. 贪心 + 奇偶性分析的核心思想：

   • 问题简化：将“组和奇偶性”转化为“组内奇数的奇偶性”。一组数字之和的奇偶性仅由其中奇数的个数决定（奇数个奇数和为奇，偶数个奇数和为偶）。
   • 最大化组数的贪心策略：每个数单独成组时组数最多，但必须满足奇偶交替的约束。因此，只有在奇偶数量不匹配时，才被迫合并一些数。合并两个奇数（变成一个偶数）是唯一能调整奇偶数比例且不改变总和奇偶性的有效操作。
   • 边界条件：序列以偶数开头，因此偶数的数量不能小于奇数的数量，且最多只能比奇数多1。这个约束是贪心调整的终止条件。
   • 适用场景：适用于仅涉及整数奇偶性、需要构造最长的“奇偶交替”序列的计数问题。核心是通过数学性质（奇+奇=偶）进行数量匹配。

【算法标签】

普及- #数学

【代码详解】

#include <iostream>
using namespace std;
int n, odd, even;
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n个数
        int x;
        cin >> x;  // 输入数x
        if (x%2==1) odd++;  // 判断奇偶性，并统计奇数和偶数的个数
        else even++;
    }
    while (even<odd) {  // 当奇数个数大于偶数个数时
        odd -=2 ;  // 将奇数变为偶数，变一次奇数个数需要减2
        even++;  // 偶数个数自增1
    }
    if (even>odd+1) {  // 如果偶数大于奇数+1
        even = odd + 1;  // 则偶数等于奇数+1，如8个偶、1个奇，最后会变成2个偶、1个奇(1个偶数和1个奇数组成1个奇数，奇数个数没有变化，偶数在递减，直至奇数个数+1）
    }
    cout << odd + even <<endl;  // 最后输出奇数和偶数个数之和
    return 0;
}

【运行结果】

7
1 3 5 7 9 11 13
3