题解：洛谷 P9123 Watching Mooloo

【题目来源】

洛谷：P9123 [USACO23FEB] Watching Mooloo B - 洛谷

【题目描述】

贝茜喜欢看 Mooloo 的演出。因为她是一只忙碌的奶牛，她计划在接下来的 \(N (1 \le N \le 10^5)\) 天去看演出。因为 Mooloo 提供了订阅服务，她想要使她花费的钱最少。

Mooloo 有一个有趣的订阅服务系统：若要在此之后的连续 \(d\) 天看演出，则在订阅时需要花费 \(d+K(1 \le K \le 10^9)\) 个单位价格。你可以随时订阅；若本次订阅已经过期，你可以根据需要订阅多次。基于以上条件，请计算出贝茜最少要花费多少个单位价格，才能完成她的计划。

【输入】

第一行输入两个正整数 \(N\) 和 \(K\)。

第二行输入 \(N\) 个正整数，表示在这些天里，贝茜会看 Mooloo 的演出：\(1 \le d_1<d_2<\cdots<d_N \le 10^{14}\)。

【输出】

请注意，此问题中可能需要使用 64 位整数数据类型（如 C 或 C++ 中的 long long）。

【输入样例】

2 4
7 9

【输出样例】

7

【核心思想】

1. 问题分析：Bessie 有 \(N\) 个需要看演出的日期 \(d_i\)（严格递增）。订阅规则是：若订阅覆盖连续 \(d\) 天（包含中间不看的日子），花费为 \(d + K\)。订阅可多次购买，每次从任意天开始。求覆盖所有指定日期的最小总花费。本质上这是一个一维数轴上的区间覆盖优化问题，每个订阅可看作一个区间，花费为区间长度加固定费用 \(K\)，目标是覆盖所有给定点。

2. 算法选择：

   • 贪心 + 动态规划 / 递推：关键观察是决策具有无后效性——对于相邻的两个观看日 \(d_{i-1}\) 和 \(d_i\)，要么为 \(d_i\) 单独开始一次新订阅（花费 \(K+1\)），要么将 \(d_i\) 合并到覆盖 \(d_{i-1}\) 的订阅中（额外花费 \(d_i - d_{i-1}\)，因为订阅结束日期延长了这么多天）。每次选择两者中较小的代价即可得到全局最优。
   • 线性扫描：只需按日期顺序处理，用累加变量 \(ans\) 记录最小总花费。

3. 关键步骤（基于学而思课堂笔记的贪心实现）：

   • 读入数据：读取 \(N, K\) 和 \(N\) 个观看日期 \(d[1..N]\)。
   • 初始化：第一个观看日必须开启一次订阅，花费 \(ans = K + 1\)（订阅覆盖 \(d_1\) 当天，即连续1天）。
   • 迭代决策：对于 \(i = 2\) 到 \(N\)：
     • 计算将第 \(i\) 个观看日纳入上一次订阅所需的额外费用：\(cost\_extend = d_i - d_{i-1}\)（订阅结束日从 \(d_{i-1}\) 延长到 \(d_i\)）。
     • 计算为第 \(i\) 个观看日重新开启一次新订阅的费用：\(cost\_new = K + 1\)。
     • 取较小者累加到答案：\(ans += \min(cost\_extend, cost\_new)\)。
   • 输出答案：\(ans\)。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)，仅需一次线性扫描。
   • 空间复杂度：\(O(N)\) 或 \(O(1)\)（若流式读取则只需存储前一个日期）。

5. 贪心 + 线性递推的核心思想：

   • 相邻决策独立性：由于订阅之间是连续的，且每个观看日必须被覆盖，最优策略中每个订阅覆盖的必定是日期序列中的一段。因此，决策只需在相邻观看日之间进行：是“延续”还是“断开”订阅。
   • 代价比较：延续订阅的边际成本是时间间隔 \(d_i - d_{i-1}\)，而断开后重新订阅的固定成本是 \(K+1\)。选择更小者即为局部最优，由于没有其他约束，局部最优累加即为全局最优。
   • 对“连续天数”的理解：订阅覆盖的连续天数是从订阅开始日到结束日的总天数，即使中间没有演出也需要付费。因此延长订阅的花费正好是两天之间的日期差。
   • 适用场景：适用于在有序时间点上进行“覆盖区间”且区间成本为“长度+常数”的优化问题，核心是相邻点间“延续 vs 重启”的贪心选择。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k;
long long a[100005], dp[100005], sum=0;
int main()
{
    cin >> n >> k;  // 输入n和k
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 输入哪些天要看演出
        cin >> a[i];
    }
    dp[1] = 1+k;  // 第一天为1+k
    for (int i=2; i<=n; i++) {  // 遍历后面n-1天
        dp[i] = min(dp[i-1]+1+k, dp[i-1]+a[i]-a[i-1]);  // dp递推式，取1+k和a[i]-a[i-1]的最小值
    }
    cout << dp[n] << endl;  // 输出最后一天的价格，就是总计最小值
    return 0;
}

// 学而思课堂笔记
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k;
long long ans, d[100005];
int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        cin >> d[i];
        if (i==1) ans = k+1;  // 如果是开始订阅的第一天
        else {  // 如果不是开始订阅的第一天
            long long x = d[i] - d[i-1];  // 续约的订阅花费
            long long y = k+1;  // 重新订阅花费
            ans += min(x, y);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

2 4
7 9
7