题解：洛谷 P9015 Moo Route

【题目来源】

洛谷：P9015 [USACO23JAN] Moo Route S - 洛谷

【题目描述】

农夫 Nhoj 把 Bessie 丢在了一个荒无人烟的地方！在时间 \(t=0\) 时，Bessie 位于无限数轴的 \(x=0\) 处。她疯狂地寻找出口，每秒向左或向右移动 1 个单位。然而，实际上并没有出口，在 \(T\) 秒后，Bessie 回到了 \(x=0\)，疲惫且无奈。

农夫 Nhoj 试图追踪 Bessie，但他只知道 Bessie 穿过 \(x=0.5,1.5,2.5, \cdots ,(N-1).5\) 的次数，由数组 \(A_0,A_1, \cdots ,A_{N-1}\) 给出（\(1 \le N \le 10^5, 1 \le A_i \le 10^6, \sum A_i \le 10^6\)）。Bessie 从未到达 \(x>N\) 或 \(x<0\)。

特别地，Bessie 的路线可以用一个长度为 \(T= \sum\limits_{i=0}^{N-1}A_i\) 的 \(L\) 和 \(R\) 字符串表示，其中第 \(i\) 个字符表示 Bessie 在第 \(i\) 秒移动的方向。方向变化的次数定义为 \(LR\) 出现的次数加上 \(RL\) 出现的次数。

请帮助农夫 Nhoj 找到任何一个与 \(A\) 一致且方向变化次数最少的 Bessie 的路线。保证至少存在一条有效路线。

【输入】

第一行包含 \(N\)。第二行包含 \(A_0,A_1,\cdots ,A_{N-1}\)。

【输出】

输出一个长度为 \(T=\sum\limits_{i=0}^{N-1}A_i\) 的字符串 \(S\)，其中 \(S_i\) 是 L 或 R，表示 Bessie 在第 \(i\) 秒的移动方向。如果有多条路线能使方向变化次数最少，输出任意一条。

【输入样例】

2
2 4

【输出样例】

RRLRLL

【核心思想】

1. 问题分析：Bessie 在数轴 \([0, N]\) 上每秒向左或向右移动 1 单位，起点和终点均在 \(x=0\)。已知她穿过半整数点 \(0.5, 1.5, \dots, (N-1).5\) 的总次数分别为 \(A_0, A_1, \dots, A_{N-1}\)（即单位区间 \([0,1]\) 被穿越 \(A_0\) 次，\([1,2]\) 被穿越 \(A_1\) 次，依此类推），需要构造一个长度 \(T=\sum A_i\) 的 \(L/R\) 移动序列，使得方向变化次数最少。本质是给定链上每条边的遍历次数，构造从端点出发并回到端点的欧拉游走，最小化拐弯次数。

2. 算法选择：

   • 贪心模拟：将每个单位区间看作一条边，\(A_i\) 表示边 \(i\)（连接点 \(i\) 和 \(i+1\)）需要被遍历的次数。核心贪心策略是尽量保持当前方向不变——每次决定下一步方向时，比较当前位置两侧相邻边的剩余次数，优先走向剩余次数更多的方向（避免未来被迫多次掉头），从而最小化总拐弯次数。

3. 关键步骤（基于代码实现，下标调整为 \(1\)~\(N\)）：

   • 建模：边 \(i\) 连接顶点 \(i\) 和 \(i+1\)，剩余次数为 \(A_i\)。当前位置 \(cur\)（\(1 \le cur \le N+1\)），\(pre\) 表示上一个顶点。
   • 起点处理：从点 \(1\)（即 \(x=0\)）出发，第一步必须向右，输出 R，消耗边 1 的一次遍历，移动到点 2，\(pre=1\)。
   • 贪心循环（重复 \(T-1\) 次）：
     • 若 \(cur=1\)（左边界）：只能向右，输出 R，消耗边 1，\(cur\)、\(pre\) 均右移。
     • 若 \(cur=N+1\)（右边界）：只能向左，输出 L，消耗边 \(N\)，\(cur\)、\(pre\) 均左移。
     • 若从左向右到达（\(cur>pre\)）：
       • 若右侧边 \(cur\) 的剩余次数 大于 左侧边 \(pre\) 的剩余次数，则继续向右（保持方向），消耗边 \(cur\)，\(cur\)、\(pre\) 均右移；
       • 否则掉头向左，消耗边 \(pre\)，交换 \(cur\) 和 \(pre\) 实现掉头。
     • 若从右向左到达（\(cur<pre\)）：
       • 若左侧边 \(cur-1\) 的剩余次数 大于 右侧边 \(cur\) 的剩余次数，则继续向左（保持方向），消耗边 \(cur-1\)，\(cur\)、\(pre\) 均左移；
       • 否则掉头向右，消耗边 \(cur\)，交换 \(cur\) 和 \(pre\) 实现掉头。
   • 输出：循环顺序输出的 \(L/R\) 字符串即为最少拐弯路线。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(T)\)，\(T=\sum A_i \le 10^6\)，循环内为常数操作。
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储 \(A\) 数组。

5. 贪心模拟的核心思想：

   • 边遍历到路线构造的转化：将穿越次数理解为“边容量”，问题变为在链图上从端点出发、遍历完所有边容量后回到端点的路径构造。
   • 最小化拐弯的贪心依据：在任意点处，若两侧都有剩余次数，选择继续沿当前方向走总是优于掉头（避免一次方向变化）。仅当继续前进方向的边剩余次数 不大于 反方向时，才需要提前掉头，防止后续某条边剩余次数集中在远处导致被迫多次拐弯。
   • 边界与动态平衡：算法通过实时比较两侧剩余次数，动态决定掉头时机，确保每条边的容量被恰好耗尽，拐弯次数达到理论下界。
   • 适用场景：适用于已知每条边被访问次数、需要构造端点固定路径并最小化方向切换频率的问题，常见于“走廊行走”、“农场巡逻”等模拟类题目。

【解题思路】

【算法标签】

普及 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[100005], sum=0;
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 记录n个区间的线段数
        cin >> a[i];
        sum+=a[i];  // 计算总跳出
    }
    int cur=1, pre=0;  // 预置起始位置和前一个位置
    for (int i=1; i<=sum; i++) {  // 按总条数循环
        if (cur==1) {  // 当处在最左边区间时
            cout << 'R';  // 输出R
            a[cur]--;  // 线段数减1
            cur++;  // 当前和前一个位置均自增1
            pre++;
        } else if (cur==n+1) {  // 当处在最右边区间之外时
            cout << 'L';  // 输出L
            a[cur-1]--;  // 最后一个区间的线段数减1
            cur=n;  // 修改当前位置和前一个位置
            pre=n+1;
        } else {  // 其他区间时
            if (cur>pre) {  // 之前是从左向右走
                if (a[cur]>a[pre]) {  // 判断向右走
                    cout << 'R';
                    a[cur]--;
                    cur++;
                    pre++;
                } else {  // 还是向左走
                    cout << 'L';
                    a[pre]--;
                    swap(cur, pre);
                }
            } else {  // 之前是从右向左走
                if (a[cur-1]>a[cur]) {  // 判断向左走
                    cout << 'L';
                    a[cur-1]--;
                    cur--;
                    pre--;
                } else {  // 还是向右走
                    cout << 'R';
                    a[cur]--;
                    swap(cur, pre);
                }
            }
        }
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

2
2 4
RRLRLL