题解：洛谷 P9011 Air Cownditioning II

【题目来源】

洛谷：P9011 [USACO23JAN] Air Cownditioning II B - 洛谷

【题目描述】

农夫约翰的 $N$ 头奶牛 $(1\le N\le 20)$ 住在一个谷仓里，谷仓里有连续的牛栏，编号为 $1-100 $。奶牛 $i$ 占据了编号$[s_i,t_i]$ 的牛栏。不同奶牛占据的牛栏范围是互不相交的。奶牛有不同的冷却要求，奶牛$i$占用的每个牛栏的温度必须至少降低 $c_i$ 单位。

谷仓包含 $M$ 台空调，标记为 $1-M(1\le M\le 10)$。第$i$台空调需要花费 $m_i$ 单位的金钱来运行 $(1\le m_i\le 1000)$，如果运行，第 $i$ 台空调将牛栏$[a_i,b_i]$ 所有牛栏的温度降低 $p_i(1\le p_i\le 10^6)$。空调覆盖的牛栏范围可能会重叠。

请帮助农夫约翰求出满足所有奶牛需求要花费的最少金钱。

【输入】

第一行两个整数，分别为 $N$ 和 $M$。

第 $2$ 至 $(N+1)$ 行，每行三个整数，分别为$s_i$、$t_i $和 $c_i$。

第 $(N+2)$ 至 $(M+N+1)$ 行，每行四个整数，分别为 $a_i$、$b_i$、$p_i$和 $m_i$。

【输出】

一个整数，表示最少花费的金钱。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：谷仓有100个牛栏，$N$ 头奶牛（$N \le 20$）占据互不相交的连续区间 $[s_i, t_i]$，每头奶牛对其区间内每个牛栏有降温需求 $c_i$。有 $M$ 台空调（$M \le 10$），每台空调覆盖区间 $[a_i, b_i]$，降温能力 $p_i$，运行费用 $m_i$。求选择若干台空调运行，使得每个牛栏的实际降温总量 $\ge$ 该处需求，且总费用最小。本质是集合覆盖问题的变种——用最少的费用覆盖长度仅为100的离散数轴上的需求点，由于 $M$ 极小（$\le 10$），直接枚举所有子集即可。
算法选择：
- DFS 枚举子集：对 $M$ 台空调每台选或不选，共 $2^M \le 1024$ 种方案，完全可行
- 可行性检查：对每种方案，累加选中空调在各牛栏的降温量，与需求数组逐位比较
- 剪枝优化：可在DFS过程中维护当前费用，若已超过当前最优解则提前回溯（示例代码未实现，但可作为优化）
关键步骤：
- 需求预处理：读入 $N$ 头奶牛的信息 $(s_i, t_i, c_i)$，对牛栏 $j \in [s_i, t_i]$，令 $need[j] = c_i$（由于奶牛区间互不相交，每个位置只被一头奶牛覆盖）
- DFS 搜索（从第1台到第 $M$ 台）：
  - 当前考虑第 $step$ 台空调，若 $step > M$，说明已形成一种完整选择方案
  - 调用检查函数 $check()$：清空实际降温数组 $cool[1..100]$，遍历所有空调，若被选中则将 $p_i$ 累加到 $[a_i, b_i]$ 区间；遍历 $1$ 到 $100$ 号牛栏，若存在 $cool[j] < need[j]$ 则方案非法，否则返回总费用
  - 若方案合法，更新全局最小费用 $ans = \min(ans, cost)$
  - 回溯时分别递归“不选第 $step$ 台”和“选第 $step$ 台”两个分支
- 输出答案：$ans$
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：$O(2^M \cdot (M \cdot L + L))$，其中 $L = 100$ 为牛栏总数，$M \le 10$，方案数 $\le 1024$，实际计算量极小
- 空间复杂度：$O(L + M)$，存储需求数组、降温数组和空调信息
DFS 枚举子集的核心思想：
- 小数据规模驱动：$M \le 10$ 是本题的关键约束，使得指数级枚举完全可行，无需复杂的 DP 或贪心
- 离散化区间处理：牛栏编号固定为 $1 \sim 100$，可直接用数组模拟差分或逐点累加，避免区间合并的复杂逻辑
- 可行性检查与费用分离：先独立计算当前方案能否满足全部需求，再统计费用，逻辑清晰
- 适用场景：当可选物品数量 $\le 20$ 时，DFS 枚举所有子集是解决“最少费用满足覆盖需求”类问题的首选思路，配合必要的剪枝可应对 $M$ 稍大的情况

【解题思路】

【算法标签】

普及- #DFS-一维

【代码详解】

// 这个老师的DFS模板会超时，需要选择学而思提供的DFS模板
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, M;
int fence[105], fence2[105]={0};  // 定义fence记录奶牛需要的每个牛栏的温度，定义fence2记录每台空调开启后每个牛栏的温度
struct air {
    int a, b, p, m;
}a[15];
int book[15] = {0}, ans=1e9;
void dfs(int step)
{
    memset(fence2, 0, sizeof(fence2));  // 初始化fence2数组
    int sum = 0;  // 定义sum，记录开启空调后的花费，每次初始化为0
    for (int i=1; i<=M; i++) {  // 遍历M台空调
        if (book[i]==1) {  // 对于选中的那些空调
            for (int j=a[i].a; j<=a[i].b; j++) {  // 将每台空调对应的牛栏温度进行累加
                fence2[j]+=a[i].p;
            }
            sum += a[i].m;  // 并将这些空调运行所需的金钱相加
        }
    }
    int tot=0;  // 定义tot统计多少个牛栏已经满足温度降低（这里是提升）要求
    for (int i=1; i<=100; i++) {  // 遍历所有牛栏
        if (fence2[i]<fence[i]) break;  // dfs剪枝操作，如果某个位置牛栏上升温度低于要求，直接退出
        else tot++;  // 否则对这个牛栏进行计数
    }
    if (tot==100) {  // 如果满足要求，应该100个牛栏都满足要求
        ans = min(ans, sum);  // 此时计算花费最少的金钱
        return;  // 退出这轮搜索
    }
    for (int i=1; i<=M; i++) {  // dfs的深搜过程，遍历M个空调
        if (book[i]==0) {  // 对于没有被选中的空调
            book[i] = 1;  // 选中它
            dfs(step+1);  // 进行下一步计算
            book[i] = 0;  // 退回时还原现场
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n >> M;  // 输入n和M（因为M与后面的m同名，所以这里用大写）
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n行
        int s, t, c;
        cin >> s >> t >> c;  // 输入s、t和c
        for (int j=s; j<=t; j++) {  // 在数轴上将每个位置的值修改为c
            fence[j] = c;
        }
    }
    for (int i=1; i<=M; i++) {  // 遍历m行
        cin >> a[i].a >> a[i].b >> a[i].p >> a[i].m;  // 输入每台空调的a、b、p和m
    }
    dfs(1);  // 开始dfs搜索（这里是0还是1开始没有关系，因为定义了book列表来记录某台空调是否被选中）
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

// 学而思课堂笔记
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, M;
int f[105], h[105];
// f[i]表示i号牛栏需要降低的温度，h[i]表示i号牛栏实际降低的温度
int a[15], b[15], p[15], m[15];  // 第i台空调的降温范围[ai,bi]，降低温度pi，话费mi;
bool used[15];  // used[i]表示标记是否选择第i台空调
int ans = 2e9;
int chk()
{
    memset(h, 0, sizeof(h));
    int cost = 0;
    for (int i=1; i<=M; i++) {  // 枚举第i台空调
        if (used[i]==true) {  // 若当前方案选择了第i台空调
            for (int j=a[i]; j<=b[i]; j++) {  // 枚举第i台空调的影响牛栏，进行降温
                h[j] += p[i];  // j号牛栏温度降低p[i]
            }
            cost += m[i];  // cost加上第i台空调的花费
        }
    }
    for (int i=1; i<=100; i++) {
        if (h[i]<f[i]) return -1;
    }
    return cost;
}
void dfs(int step)  // 接下来考虑是否选择第step台空调
{
    if (step==M+1) {
        // 若接下来要搜索第M+1台空调，表示前面M台空调全部搜完了，得到了一种空调选择方案
        int cost = chk();  // 检查当前空调选择方案是否能满足所有奶牛的降温需求，并求出总花费
        if (cost != -1) {
            ans = min(ans, cost);  // 对于合法方案的花费，取最小值
        }
        return;
    }
    //不选第step台空调
    used[step]=false;
    dfs(step+1);
    used[step]=false;
    //选第step台空调
    used[step]=true;
    dfs(step+1);
    used[step]=false;
}
int main()
{
    cin >> n >> M;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        int s, t, c;
        cin >> s >> t >> c;  // 第i头奶牛的牛栏范围[s,t]，降温需求c
        for (int j=s; j<=t; j++) {  // 枚举j号牛栏
            f[j] = c;
        }
    }
    for (int i=1; i<=M; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i] >> p[i] >> m[i];
    }
    dfs(1);  // 从第1台空调开始搜索所有空调选择方案
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-29 09:41 团爸讲算法阅读(7) 评论(0) 收藏举报

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