题解：洛谷 P6206 Another Cow Number Game

【题目来源】

洛谷：P6206 [USACO06OCT] Another Cow Number Game G - 洛谷

【题目描述】

奶牛们在玩一种数字游戏，Bessie 想让你帮她预测一下结果。游戏开始时，Bessie 将得到一个正整数 \(N\)。此时她的分数为 \(0\)。

奶牛们按照以下规则对 \(N\) 进行变换：

• 如果 \(N\) 是奇数，那么将它乘以 \(3\) 后再加 \(1\)。
• 如果 \(N\) 是偶数，那么将它除以 \(2\)。

数字每变换一次，Bessie 就得到 \(1\) 分。当 \(N=1\) 时，游戏结束。此时的分数就是她的最终得分。

【输入】

一行，一个整数 \(N\)。

【输出】

一行，一个整数，为 Bessie 的最终得分。

【输入样例】

5

【输出样例】

5

【核心思想】

1. 问题分析：给定正整数 \(N\)，按照规则变换直到变为 \(1\)：奇数时 \(N \to 3N + 1\)，偶数时 \(N \to N / 2\)。求变换次数（得分）。这是经典的Collatz猜想（冰雹猜想）的模拟问题。

2. 算法选择：

   • 直接模拟：按照规则逐步变换 \(N\)，每步计数，直到 \(N = 1\) 终止

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(N\)，得分 \(\text{ans} = 0\)
   • 循环变换（当 \(N \neq 1\) 时）：
     • 奇数判定：若 \(N \bmod 2 = 1\)，则 \(N = 3N + 1\)，\(\text{ans}++\)
     • 偶数判定：否则 \(N = N / 2\)，\(\text{ans}++\)
   • 输出答案：\(\text{ans}\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(T)\)，\(T\) 为变换步数，对于 \(N \leq 10^6\) 通常在几百步内收敛
   • 空间复杂度：\(O(1)\)

5. Collatz序列模拟的核心思想：

   • 奇偶分支规则：奇数膨胀（\(3N+1\)）、偶数收缩（\(N/2\)），形成"冰雹"般的上下波动
   • 终止保证：Collatz猜想认为所有正整数最终都会收敛到 \(1\)（尚未被证明，但在计算机可处理范围内均成立）
   • 数据范围注意：中间值可能远超初始 \(N\)（如 \(N = 999999\) 时峰值可达约 \(10^9\)），需用 long long 防止溢出
   • 极简模拟：无复杂算法，直接按规则迭代，利用计算机速度处理变换过程
   • 适用于规则迭代、序列收敛、简单模拟类问题

【解题思路】

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n, ans=0;  // n需要设置为long long，否则最后一个测试点会TLE
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    while (n!=1) {  // 直到n==1退出循环
        if (n%2==1) {  // 如果n是奇数
            n = n * 3 + 1;  // 乘以3后再加1
            ans++;  // 每变换一次得1分
        } else {
            n = n / 2;  // 除以2
            ans++;  // 每变换一次得1分
        }
    }
    cout << ans << endl;  // 打印分数
    return 0;
}

【运行结果】

5
5