题解：洛谷 P6200 Super Paintball

【题目来源】

洛谷：P6200 [USACO07OCT] Super Paintball G - 洛谷

【题目描述】

奶牛们最近从玩具商那里，买来了一套仿真版彩弹游戏设备（类似于真人 CS）。Bessie 把她们玩游戏的草坪划分成了 \(N \times N\) 的矩阵（\(1 \leq N \leq 100\)），同时他算出了她的 \(K\) 个对手在草地上的位置（\(1 \leq K \leq 10^5\)），现在你需要帮 Bessie 算些东西。

在这个游戏中，奶牛们用一把枪向八个方向中的任意一个方向射出子弹，这八个方向分别是：正北，正南，正东，正西，东北，东南，西北，西南（东北指北偏东 \(45^\circ\)，东南，西北，西南同理）。

Bessie 想要你算出，有多少个位置可以让她射到所有对手。特别地，Bessie 可以和她的某一个对手站在同一格子，这时候她可以射到和她同一格子的对手。

【输入】

第一行两个整数 \(N, K\)。

接下来 \(K\) 行，每行两个整数 \(R_i, C_i\)，表示第 \(i\) 头奶牛在第 \(R_i\) 行第 \(C_i\) 列。可能有两个奶牛在同一位置上。

【输出】

输出 Bessie 可以选择的格子数目。

【输入样例】

4 3
2 1
2 3
4 1

【输出样例】

5

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N \times N\) 的矩阵和 \(K\) 个对手位置，求有多少个位置 \((i, j)\) 满足：从 \((i, j)\) 沿八个方向（正北、正南、正东、正西、东北、东南、西北、西南）中的至少一个方向，可以"看到"所有 \(K\) 个对手（同一格子也算射到）。本质是一个八方向射线覆盖判定问题。

2. 算法选择：

   • 暴力模拟 + 八方向扫描：对每个空位 \((i, j)\)，沿八个方向逐格扫描，统计能看到的对手数量，若等于 \(K\) 则该位置合法

3. 关键步骤：

   • 标记对手：用二维数组 \(a[x][y] = 1\) 标记对手位置
   • 遍历所有位置（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)，\(j\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
     • 初始化计数器 \(\text{cnt} = 0\)
     • 同格判定：若 \(a[i][j] = 1\)，\(\text{cnt}++\)（站在对手格子上可直接射到）
     • 八方向扫描（每个方向用 \(k\) 从 \(1\) 到 \(N\) 递增步长）：
       • 正东：\((i, j+k)\)，条件 \(j+k \leq N\)
       • 正西：\((i, j-k)\)，条件 \(j-k \geq 1\)
       • 正北：\((i-k, j)\)，条件 \(i-k \geq 1\)
       • 正南：\((i+k, j)\)，条件 \(i+k \leq N\)
       • 西北：\((i-k, j-k)\)，条件 \(i-k \geq 1\) 且 \(j-k \geq 1\)
       • 东南：\((i+k, j+k)\)，条件 \(i+k \leq N\) 且 \(j+k \leq N\)
       • 西南：\((i+k, j-k)\)，条件 \(i+k \leq N\) 且 \(j-k \geq 1\)
       • 东北：\((i-k, j+k)\)，条件 \(i-k \geq 1\) 且 \(j+k \leq N\)
       • 每个方向遇到对手（\(a[\cdot][\cdot] = 1\)）则 \(\text{cnt}++\)
     • 判定合法性：若 \(\text{cnt} = K\)，\(\text{ans}++\)
   • 输出答案：\(\text{ans}\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^3)\)，\(N^2\) 个位置，每个位置八方向扫描最多 \(O(N)\)
   • 空间复杂度：\(O(N^2)\)，存储对手位置的二维数组

5. 八方向射线扫描的核心思想：

   • 方向向量枚举：用坐标增量 \((\Delta r, \Delta c)\) 表示八个方向，通过统一的方向循环减少代码冗余（当前代码为展开写法）
   • 逐格延伸判定：从当前位置沿某方向逐格检查，直到越界，统计路径上的对手数量
   • 同格特殊处理：站在对手位置上时直接计数，体现"可以射到同一格子对手"的规则
   • 暴力可行性：\(N \leq 100\)，\(N^3 = 10^6\) 完全可接受，无需复杂优化
   • 适用于棋盘覆盖、射线检测、视野判定类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k, a[105][105], ans=0;
int main()
{
    cin >> n >> k;  // 输入n和k
    for (int i=1; i<=k; i++) {  // 输入k个对手位置
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        a[x][y] = 1;  // 每个位置标记为1
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历N*N矩阵
        for (int j=1; j<=n; j++) {
            int cnt = 0;
            if (a[i][j]==1) cnt++;  // 如果站在对手的格子上，统计值加1
            for (int k=1; k<=n; k++) {  // 向左扫描
                if (j-k>=1 && a[i][j-k]==1 ) cnt++;
            }
            for (int k=1; k<=n; k++) {  // 向右扫描
                if (j+k<=n && a[i][j+k]==1) cnt++;
            }
            for (int k=1; k<=n; k++) {  // 向上扫描
                if (i-k>=1 && a[i-k][j]==1) cnt++;
            }
            for (int k=1; k<=n; k++) {  // 向下扫描
                if (i+k<=n && a[i+k][j]==1) cnt++;
            }
            for (int k=1; k<=n; k++) {  // 向左上扫描
                if (i-k>=1 && j-k>=1 && a[i-k][j-k]==1) cnt++;
            }
            for (int k=1; k<=n; k++) {  // 向右下扫描
                if (i+k<=n && j+k<=n && a[i+k][j+k]==1) cnt++;
            }
            for (int k=1; k<=n; k++) {  // 向左下扫描
                if (i+k<=n && j-k>=1 && a[i+k][j-k]==1) cnt++;
            }
            for (int k=1; k<=n; k++) {  // 向右上扫描
                if (i-k>=1 && j+k<=n && a[i-k][j+k]==1) cnt++;
            }
            if (cnt==k) {  // 如果统计值为k，说明所有对手都可以给射到
                ans++;  // 位置数加1
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;  // 输出位置数
    return 0;
}

【运行结果】

4 3
2 1
2 3
4 1
5