题解：洛谷 P6065 Sumsets

【题目来源】

洛谷：P6065 [USACO05JAN] Sumsets S - 洛谷

【题目描述】

给出一个整数 \(N\)，将 \(N\) 分解为若干个 \(2\) 的次幂的和，共有多少种方法？

【输入】

输入一个整数 \(N\)（\(1 \leq N \leq 10^6\)）。

【输出】=-

输出方案数对 \(10^9\) 取模的结果。

【输入样例】

7

【输出样例】

6

【核心思想】

1. 问题分析：给定整数 \(N\)，求将 \(N\) 分解为若干个 \(2\) 的次幂之和的方案数（即 \(N = 2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_m}\)，允许重复使用相同的 \(2\) 的次幂）。本质是一个受限整数拆分问题，等价于用 \(\{1, 2, 4, 8, \dots\}\) 这些面额的"硬币"凑成金额 \(N\) 的方案数。

2. 算法选择：

   • 递推/动态规划：利用奇偶性分析，发现 \(N\) 的拆分方案数与 \(N-1\) 和 \(N/2\) 存在递推关系，\(O(N)\) 递推求解

3. 关键步骤：

   • 初始化：\(\text{dp}[1] = 1\)（\(1 = 2^0\)，唯一方案），\(\text{dp}[2] = 2\)（\(2 = 2^1\) 或 \(2 = 1 + 1\)），\(\text{dp}[3] = 2\)，\(\text{dp}[4] = 4\)
   • 递推关系（\(i\) 从 \(5\) 到 \(N\)）：
     • \(i\) 为奇数：\(\text{dp}[i] = \text{dp}[i-1]\)。因为奇数拆分中必然包含至少一个 \(1\)（\(2^0\)），去掉这个 \(1\) 后恰好对应 \(i-1\) 的拆分方案，一一对应
     • \(i\) 为偶数：\(\text{dp}[i] = \text{dp}[i-1] + \text{dp}[i/2]\)。
       • \(\text{dp}[i-1]\)：包含至少一个 \(1\) 的拆分方案（去掉一个 \(1\) 对应 \(i-1\) 的拆分）
       • \(\text{dp}[i/2]\)：不包含 \(1\) 的拆分方案（所有项都是偶数，除以 \(2\) 后对应 \(i/2\) 的拆分）
   • 取模处理：每次递推后对 \(10^9\) 取模
   • 输出答案：\(\text{dp}[N]\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)，线性递推
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，一维 \(\text{dp}\) 数组

5. 奇偶分类递推的核心思想：

   • 奇数的强制含1性：任何奇数的 \(2\) 的次幂拆分必然包含 \(2^0 = 1\)（因为其他项都是偶数，偶数和为偶数，奇数必须加 \(1\)），因此去掉这个 \(1\) 后与 \(i-1\) 的方案一一对应
   • 偶数的二分拆解：偶数 \(i\) 的拆分分为两类——包含 \(1\) 的（对应 \(\text{dp}[i-1]\)）和不包含 \(1\) 的（所有项 \(\geq 2\)，整体除以 \(2\) 后对应 \(i/2\) 的拆分）
   • 递推而非完全背包：利用奇偶性质将完全背包的 \(O(N \log N)\) 优化到 \(O(N)\)，关键在于发现"不含 \(1\) 的偶数拆分"与" \(i/2\) 的任意拆分"之间的缩放对应关系
   • 模数处理：由于 \(N \leq 10^6\)，方案数极大，每步取模防止溢出
   • 适用于受限整数拆分、硬币组合、递推关系发现类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及 #递推

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, dp[1000005]={0, 1, 2, 2, 4};
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=5; i<=n; i++) {  // 遍历5到n，进行递推
        if (i%2==1) {  // 当i为奇数时
            dp[i] = dp[i-1];  // i的方案数与i-1相同
        } else {  // 当i为偶数时
            dp[i] = dp[i/2] + dp[i-1];  // i的方案数为i/2的方案数加上i-1的方案数
        }
        dp[i] %= 1000000000;  // 每计算一次进行一次取模运算
    }
    cout << dp[n] << endl;  // 输出n的方案数
    return 0;
}

【运行结果】

7
6