题解：洛谷 P6004 Wormhole Sort

【题目来源】

洛谷：P6004 [USACO20JAN] Wormhole Sort S - 洛谷

【题目描述】

Farmer John 的奶牛们已经厌倦了他对她们每天早上排好序离开牛棚的要求。她们刚刚完成了量子物理学的博士学位，准备将这一过程搞快点。

今天早上，如同往常一样，Farmer John 的 \(N\) 头编号为 \(1…N\) 的奶牛（\(1\le N\le 10^5\)），分散在牛棚中 \(N\) 个编号为 \(1…N\) 的不同位置，奶牛 \(i\) 位于位置 \(p_i\)。但是今天早上还出现了 \(M\) 个编号为 \(1…M\) 的虫洞（\(1\le M\le 10^5\)），其中虫洞 \(i\) 双向连接了位置 \(a_i\) 和 \(b_i\)，宽度为 \(w_i(1\le a_i,b_i\le N,a_i\neq b_i,1\le w_i\le 10^9)\)。

在任何时刻，两头位于一个虫洞两端的奶牛可以选择通过虫洞交换位置。奶牛们需要反复进行这样的交换，直到对于 \(1\le i\le N\)，奶牛 \(i\) 位于位置 \(i\)。

奶牛们不想被虫洞挤坏。帮助她们最大化被她们用来排序的虫洞宽度的最小值。保证奶牛们有可能排好序。

【输入】

输入的第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(M\)。

第二行包含 \(N\) 个整数 \(p_1,p_2,…,p_N\)。保证 \(p\) 是 \(1…N\) 的一个排列。

对于 \(1\) 到 \(M\) 之间的每一个 \(i\)，第 \(i+2\) 行包含整数 \(a_i,b_i,w_i\)。

【输出】

输出一个整数，为在排序过程中奶牛必须挤进的虫洞的最小宽度的最大值。如果奶牛们不需要用任何虫洞来排序，输出 \(−1\)。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 个位置上的奶牛排列 \(p[1..N]\)（\(p_i\) 表示位置 \(i\) 上的奶牛编号）和 \(M\) 个带宽度权值的虫洞（双向边）。奶牛只能通过虫洞交换位置，目标是让每个奶牛 \(i\) 回到位置 \(i\)。求所有使用虫洞中宽度最小值的最大值（最大化瓶颈），若无需虫洞则输出 \(-1\)。本质是一个带权图上的可行性判定 + 二分答案问题。
算法选择：
- 二分答案 + DFS连通性判定：对虫洞宽度阈值 \(x\) 进行二分，判定只使用宽度 \(\geq x\) 的虫洞时，所有"需要交换的位置"是否连通
- 关键观察：若只保留宽度 \(\geq x\) 的虫洞，则这些虫洞形成若干连通块。某个连通块内的奶牛可以任意互相交换位置（通过虫洞链），因此一个连通块内的位置错位可以内部自我纠正
关键步骤：
- 预处理错位位置：
  - 读取排列 \(p\)，建立值到位置的映射 \(p[x] = i\)（值 \(x\) 在位置 \(i\)）
  - 收集所有 \(x \neq i\) 的错位值存入数组 \(a[1..cur]\)，这些是需要被"归位"的奶牛
  - 若 \(cur = 0\)（已全部有序），输出 \(-1\)
- 建图：用邻接表存储所有虫洞（无向边，带权值 \(w\)）
- 判定函数 \(\text{check}(x)\)：
  - 从第一个错位位置 \(u = p[a[1]]\) 开始 DFS，只遍历宽度 \(\geq x\) 的边
  - 标记所有可达位置
  - 检查所有错位位置 \(p[a[i]]\) 是否都被访问到，若全部连通则返回真
- 二分查找：
  - 范围 \([1, 10^9]\)，二分最大可行阈值
  - 若 \(\text{check}(mid)\) 为真，说明可以承受更窄的虫洞（尝试更大 \(x\)），\(l = mid\)
  - 否则 \(r = mid - 1\)
- 输出答案：\(l\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(\log W \cdot (N + M))\)，二分约 \(30\) 次迭代，每次 DFS \(O(N + M)\)
- 空间复杂度：\(O(N + M)\)，邻接表和访问标记数组
二分答案 + 连通性判定的核心思想：
- 瓶颈最大化转化：将"最大化使用虫洞的最小宽度"转化为"寻找最大阈值 \(x\)，使得只保留宽度 \(\geq x\) 的边后，所有需要交换的位置仍连通"
- 连通块内可任意交换：在一个连通块内部，通过虫洞链可以任意重排奶牛位置，因此只要所有错位位置落在同一连通块，就能完成排序
- 二分单调性：若阈值 \(x\) 可行（连通），则所有 \(\leq x\) 的阈值也可行（边更多），满足二分条件
- DFS筛选边：判定过程中不修改图结构，只通过 \(w[i] \geq x\) 条件过滤遍历的边，实现 \(O(1)\) 额外空间判定
- 适用于带权图瓶颈优化、网络可靠性、最小边权最大化类问题

【算法标签】

普及+ #整数二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005, M = 100005 * 2;
int n, m;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;  // 邻接表
int p[N], cur, a[N];  // p: 值到位置的映射, a: 需要交换的值
bool vis[N];  // 访问标记

// 添加边
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// 深度优先搜索
void dfs(int u, int x)
{
    vis[u] = true;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])  // 遍历邻接点
    {
        int v = e[i];
        if (w[i] >= x && !vis[v])  // 如果边权≥x且未访问
        {
            dfs(v, x);
        }
    }
}

// 检查在阈值x下是否可行
bool check(int x)
{
    int u = p[a[1]];  // 获取第一个需要交换的位置
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    dfs(u, x);
    for (int i = 1; i <= cur; i++)  // 检查所有需要交换的位置是否连通
    {
        if (!vis[p[a[i]]])
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    cin >> n >> m;  // 输入数组长度和边数
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 读取排列
    {
        int x;
        cin >> x;
        p[x] = i;  // 记录值x所在的位置
        if (x != i)  // 如果位置不正确，需要交换
        {
            a[++cur] = x;
        }
    }
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for (int i = 1; i <= m; i++)  // 建图
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        add(u, v, w);
        add(v, u, w);
    }
    int l = 1, r = 1e9;  // 二分边权阈值
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r + 1) / 2;
        if (check(mid))  // 如果mid可行，尝试更大的
        {
            l = mid;
        }
        else
        {
            r = mid - 1;
        }
    }
    if (l == 1e9)  // 如果阈值达到最大值
    {
        cout << -1 << endl;
    }
    else
    {
        cout << l << endl;  // 输出最大可行阈值
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-29 09:38 团爸讲算法阅读(6) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P6004 Wormhole Sort

普及+ #整数二分

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