题解：洛谷 P5834 MooBuzz

【题目来源】

洛谷：P5834 [USACO19DEC] MooBuzz S - 洛谷

【题目描述】

Farmer John 的奶牛们最近成为了一个简单的数字游戏“FizzBuzz”的狂热玩家。这个游戏的规则很简单：奶牛们站成一圈，依次从一开始报数，每头奶牛在轮到她的时候报一个数。如果一头奶牛将要报的数字是 \(3\) 的倍数，她应当报 Fizz 来代替这个数。如果一头奶牛将要报的数字是 \(5\) 的倍数，她应当报 Buzz 来代替这个数。如果一头奶牛将要报的数字是 \(15\) 的倍数，她应当报 FizzBuzz 来代替这个数。于是这个游戏的开始部分的记录为：

1, 2, Fizz, 4, Buzz, Fizz, 7, 8, Fizz, Buzz, 11, Fizz, 13, 14, FizzBuzz, 16

由于词汇的匮乏，奶牛们玩的 FizzBuzz 中用Moo 代替了 Fizz、Buzz、FizzBuzz。于是奶牛版的游戏的开始部分的记录为：

1, 2, Moo, 4, Moo, Moo, 7, 8, Moo, Moo, 11, Moo, 13, 14, Moo, 16

给定 \(N\)，请求出这个游戏中第 \(N\) 个被报的数。

【输入】

输入包含一个整数 \(N\)。

【输出】

输出游戏中被报出的第 \(N\) 个数。

【输入样例】

4

【输出样例】

7

【核心思想】

1. 问题分析：奶牛们依次报数，但跳过所有 \(3\) 或 \(5\) 的倍数（用 Moo 代替）。给定 \(N\)，求第 \(N\) 个实际被报出的数字（即第 \(N\) 个不是 \(3\) 或 \(5\) 倍数的正整数）。本质是一个周期性的数论计数问题。

2. 算法选择：

   • 周期规律法：观察发现每 \(15\) 个数为一个周期（\(3\) 和 \(5\) 的最小公倍数），每个周期内有 \(8\) 个有效数字（非 \(3\) 且非 \(5\) 的倍数），直接利用周期性公式计算

3. 关键步骤：

   • 周期分析：在 \([1, 15]\) 范围内，有效数字为 \(\{1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\}\)，共 \(8\) 个
   • 公式推导：
     • 完整周期数：\(\lfloor N / 8 \rfloor\)，每个完整周期贡献 \(15\) 个数字跨度
     • 剩余位置：\(N \bmod 8\)，对应周期内第 \(N \bmod 8\) 个有效数字
     • 答案：\(\text{num} = \lfloor N / 8 \rfloor \times 15 + a[N \bmod 8]\)，其中 \(a[0..7] = \{-1, 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\}\)（\(a[0] = -1\) 为占位，实际使用 \(a[1..8]\)）
   • 直接计算：\(O(1)\) 得出结果

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)

5. 周期规律法的核心思想：

   • 容斥原理确定周期长度：\(3\) 和 \(5\) 的最小公倍数为 \(15\)，因此有效数字的分布以 \(15\) 为周期重复
   • 周期内计数：每 \(15\) 个数中，\(3\) 的倍数有 \(5\) 个，\(5\) 的倍数有 \(3\) 个，\(15\) 的倍数有 \(1\) 个，有效数字数为 \(15 - 5 - 3 + 1 = 8\)
   • 打表映射余数：将周期内 \(8\) 个有效数字按顺序存入数组，通过余数直接索引，避免实时计算
   • 整数除法拆分：将第 \(N\) 个有效数字拆分为"完整周期贡献"加"周期内偏移"，类比时钟的"小时 + 分钟"结构
   • 适用于模周期计数、筛选数列的第 \(N\) 项、FizzBuzz类数论问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[10]={-1,1,2,4,7,8,11,13,14};  // 注意a[0]写为-1
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    int num = n/8 * 15 + a[n%8];  // 根据数字规律得到此公式
    cout << num << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

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7