题解：洛谷 P5194 Scales

【题目来源】

洛谷：P5194 [USACO05DEC] Scales S - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

约翰有一架用来称牛的体重的天平。与之配套的是 \(N (1≤N≤1000)\) 个已知质量的砝码（所有砝码质量的数值都在 \(32\) 位带符号整数范围内）。

每次称牛时，他都把某头奶牛安置在天平的某一边，然后往天平另一边加砝码，直到天平平衡，于是此时砝码的总质量就是牛的质量（约翰不能把砝码放到奶牛的那边，因为奶牛不喜欢称体重，每当约翰把砝码放到她的蹄子底下，她就会尝试把砝码踢到约翰脸上）。

天平能承受的物体的质量不是无限的，当天平某一边物体的质量大于 C (1≤C≤230）时，天平就会被损坏。砝码按照它们质量的大小被排成一行。并且，这一行中从第 3 个砝码开始，每个砝码的质量至少等于前面两个砝码（也就是质量比它小的砝码中质量最大的两个）的质量的和。

约翰想知道，用他所拥有的这些砝码以及这架天平，能称出的质量最大是多少。由于天平的最大承重能力为 C，他不能把所有砝码都放到天平上。

现在约翰告诉你每个砝码的质量，以及天平能承受的最大质量，你的任务是选出一些砝码，使它们的质量和在不压坏天平的前提下是所有组合中最大的。

【输入】

第 \(1\) 行输入两个用空格隔开的正整数 \(N\) 和 \(C\)。

第 \(2\) 到 \(N+1\) 行：每一行仅包含一个正整数，即某个砝码的质量。保证这些砝码的质量是一个不下降序列。

【输出】

输出一个正整数，表示用所给的砝码能称出的不压坏天平的最大质量。

【输入样例】

3 15
1
10
20

【输出样例】

11

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个砝码（质量不下降排列，且从第 \(3\) 个开始每个砝码质量 \(\geq\) 前两个之和）和天平最大承重 \(C\)，需选出若干砝码使其总质量 \(\leq C\) 且尽可能大。这是一个带特殊性质的子集和问题，直接枚举 \(2^N\) 不可行，但砝码的斐波那契式增长特性允许强力剪枝。

2. 算法选择：

   • 深度优先搜索（DFS）+ 前缀和剪枝：从大到小枚举每个砝码的选/不选状态，利用前缀和进行可行性剪枝和最优性剪枝
   • 关键性质利用：由于 \(w_i \geq w_{i-1} + w_{i-2}\)（类斐波那契增长），前缀和 \(\text{sum}[i]\) 增长极快，使得搜索树深度有限，剪枝效率极高

3. 关键步骤：

   • 预处理：读取 \(N, C\) 和砝码质量 \(w[1..N]\)，计算前缀和数组 \(\text{sum}[i] = \sum_{j=1}^{i} w_j\)
   • DFS递归（从第 \(n\) 个砝码递减到第 \(1\) 个）：
     • 更新最优解：若当前已选总重量 \(\text{st}\) 满足 \(\text{ans} < \text{st} < C\)，则更新 \(\text{ans} = \text{st}\)
     • 终止条件：\(\text{dep} = 0\)（所有砝码处理完毕）
     • 分支枚举：对每个砝码 \(\text{dep}\)，尝试选（\(a[\text{dep}] = 1\)）或不选（\(a[\text{dep}] = 0\)）
     • 可行性剪枝：\(\text{st} + w[\text{dep}] \cdot a[\text{dep}] < C\)（选择后不超过容量）
     • 最优性剪枝：\(\text{st} + \text{sum}[\text{dep}] > \text{ans}\)（即使剩余全部选入，仍有希望超过当前最优解）
     • 状态更新与回溯：\(\text{st} \mathrel{+}= w[\text{dep}] \cdot a[\text{dep}]\)，递归后 \(\text{st} \mathrel{-}= w[\text{dep}] \cdot a[\text{dep}]\)
   • 输出答案：\(\text{ans}\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(2^N)\) 最坏情况，但由于类斐波那契增长性质，实际搜索树被大幅剪枝，效率接近 \(O(N)\) 或 \(O(\log C)\)
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，递归栈深度和数组空间

5. DFS + 前缀和剪枝的核心思想：

   • 从大到小枚举：优先决策大砝码，快速逼近容量上限 \(C\)，尽早获得较优解以加强后续剪枝
   • 可行性剪枝：若当前选择导致总重量 \(\geq C\)，直接舍弃该分支（因为要求严格小于 \(C\)）
   • 最优性剪枝：若当前已选重量加上剩余所有砝码重量之和 \(\leq \text{ans}\)，则即使全选也无法超越当前最优，直接剪枝
   • 类斐波那契性质的关键作用：\(w_i \geq w_{i-1} + w_{i-2}\) 保证前缀和呈指数增长，使得 \(\text{sum}[\text{dep}]\) 迅速超过 \(C - \text{st}\)，大量分支被剪除
   • 适用于有特殊增长性质的子集选择、背包问题的精确求解

【算法标签】

普及 #DFS-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 55;        // 定义最大物品数量
int n;                    // 物品数量
int w[N];                 // 存储每个物品的重量
int c;                    // 背包容量
int a[N];                 // 记录每个物品的选择状态（0或1）
long int sum[N];          // 前缀和数组，sum[i]表示前i个物品的总重量
long int ans = 0;         // 存储最优解（最大不超过c的总重量）
int st = 0;               // 当前已选物品的总重量

// 深度优先搜索函数
// dep: 当前处理的物品编号（从n开始递减）
void DFS(int dep)
{
    // 更新最优解（如果当前解更优且未超过容量）
    if (ans < st && st < c)
        ans = st;

    // 终止条件：所有物品都已处理
    if (dep == 0)
        return;

    // 尝试两种选择：选或不选当前物品
    for (int i = 1; i <= 2; i++)
    {
        a[dep] = 2 - i;  // a[dep]=1表示选，a[dep]=0表示不选

        // 剪枝条件：
        // 1. 选择后不超过容量
        // 2. 剩余物品的总重量加上当前重量可能超过当前最优解
        if (st + w[dep] * a[dep] < c && st + sum[dep] > ans)
        {
            st += w[dep] * a[dep];  // 更新当前总重量
            DFS(dep - 1);           // 递归处理下一个物品
            st -= w[dep] * a[dep];  // 回溯，恢复总重量
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    // 输入物品数量和背包容量
    cin >> n >> c;

    // 初始化前缀和数组
    sum[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> w[i];                // 输入每个物品的重量
        sum[i] = sum[i - 1] + w[i]; // 计算前缀和
    }

    // 从最后一个物品开始深度优先搜索
    DFS(n);

    // 输出最优解
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

3 15
1
10
20
11