题解：洛谷 P5116 Mixing Milk

【题目来源】

洛谷：P5116 [USACO18DEC] Mixing Milk B - 洛谷

【题目描述】

农业，尤其是生产牛奶，是一个竞争激烈的行业。Farmer John 发现如果他不在牛奶生产工艺上有所创新，他的乳制品生意可能就会受到重创！

幸运的是，Farmer John 想出了一个好主意。他的三头获奖的乳牛，Bessie、Elsie 和 Mildred，各自产奶的口味有些许不同，他打算混合这三种牛奶调制出完美的口味。

为了混合这三种不同的牛奶，他拿来三个桶，其中分别装有三头奶牛所产的奶。这些桶可能有不同的容积，也可能并没有完全装满。然后他将桶 \(1\) 的牛奶倒入桶 \(2\)，然后将桶\(2\)中的牛奶倒入桶\(3\)，然后将桶\(3\)中的牛奶倒入桶 \(1\)，然后再将桶\(1\) 的牛奶倒入桶\(2\)，如此周期性地操作，共计进行\(100\)次（所以第\(100\)次操作会是桶\(1\)倒入桶 \(2\)）。当 Farmer John 将桶a中的牛奶倒入桶\(b\)时，他会倒出尽可能多的牛奶，直到桶\(a\)被倒空或是桶 \(b\)被倒满。

请告诉 Farmer John 当他倒了\(100\)次之后每个桶里将会有多少牛奶。

【输入】

输入文件的第一行包含两个空格分隔的整数：第一个桶的容积\(c_1\)，以及第一个桶里的牛奶量 \(m_1\)。\(c_1\)和 \(m_1\)均为正，并且不超过 \(10^9\)。第二和第三行类似地包含第二和第三个桶地容积和牛奶量。

【输出】

输出三行，给出倒了\(100\) 次之后每个桶里的牛奶量。

【输入样例】

10 3
11 4
12 5

【输出样例】

0
10
2

【核心思想】

问题分析：给定三个桶，每个桶有容积 \(c_i\) 和当前牛奶量 \(m_i\)。按照固定周期（桶1→桶2→桶3→桶1→…）进行 \(100\) 次倒奶操作，每次将当前桶的奶尽可能倒入下一个桶（直到源桶倒空或目标桶倒满）。求 \(100\) 次操作后每个桶的牛奶量。
算法选择：
- 直接模拟：由于操作次数固定为 \(100\) 次，且每次操作逻辑简单（比较、减法、赋值），直接按规则模拟即可
- 循环周期优化（可选）：虽然 \(100\) 次可以直接模拟，但注意到状态空间有限（三个桶的牛奶量组合），若次数极大可检测循环节进行优化
关键步骤：
- 初始化：读取三个桶的容积 \(c[0..2]\) 和当前牛奶量 \(m[0..2]\)
- 周期模拟（循环 \(i\) 从 \(1\) 到 \(100\)）：
  - 确定当前源桶下标 \(\text{mark} = (i-1) \bmod 3\)，目标桶下标 \((\text{mark} + 1) \bmod 3\)
  - 计算两桶牛奶总量 \(\text{tmp} = m[\text{mark}] + m[(\text{mark}+1)\%3]\)
  - 判断溢出：若 \(\text{tmp} > c[(\text{mark}+1)\%3]\)（目标桶装不下）：
    - 目标桶装满：\(m[(\text{mark}+1)\%3] = c[(\text{mark}+1)\%3]\)
    - 源桶剩余：\(m[\text{mark}] = \text{tmp} - c[(\text{mark}+1)\%3]\)
  - 否则（目标桶能装下）：
    - 目标桶接收全部：\(m[(\text{mark}+1)\%3] = \text{tmp}\)
    - 源桶清空：\(m[\text{mark}] = 0\)
- 输出结果：依次输出 \(m[0], m[1], m[2]\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(100) = O(1)\)，固定 \(100\) 次操作
- 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需存储三个桶的状态
模拟算法的核心思想：
- 按规则逐步执行：不寻找数学公式，而是严格按照题目描述的规则逐步推演，利用计算机的快速计算能力处理重复操作
- 状态转移的确定性：每次操作只依赖当前状态，无随机性，模拟结果唯一确定
- 周期取模：通过 \(\text{mark} = (i-1) \bmod 3\) 实现三个桶的循环轮转，避免冗长的条件判断
- 总量守恒验证：三桶牛奶总量始终不变（\(\sum m_i = \text{const}\)），可作为调试检验
- 适用于规则明确、操作次数可控、状态转移确定的过程模拟问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node {
    int c, m;
}p[5];
int main()
{
    for (int i=0; i<3; i++) {  // 输入3个痛的容积和牛奶量
        cin >> p[i].c >> p[i].m;
    }
    int mark = 0;  // 定义下标mark
    for (int i=1; i<=100; i++) {  // 执行100次
        int tmp = p[mark].m+p[(mark+1)%3].m;  // 先统计当前桶和下一个桶的牛奶量总和
        if (tmp>p[(mark+1)%3].c) {  // 如果牛奶量大于下一个桶的容积
            p[(mark+1)%3].m = p[(mark+1)%3].c;  // 下一个桶将被装满
            p[mark].m = tmp - p[(mark+1)%3].c;  // 而当前桶只能倒出部分，留下部分
        } else {  // 牛奶量小于等于下一个桶的容积
            p[(mark+1)%3].m = tmp;  // 下一个桶就装下所有
            p[mark].m = 0;  // 当前桶就会被清空
        }
        mark++;  // 更新下标
        mark %=3 ;  // 下标对3取余
    }
    for (int i=0; i<3; i++) {  // 顺序打印3个桶的牛奶量
        cout << p[i].m << endl;
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-29 09:37 团爸讲算法阅读(4) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P5116 Mixing Milk

普及- #模拟

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