题解：洛谷 P4379 Lemonade Line

【题目来源】

洛谷：P4379 [USACO18OPEN] Lemonade Line S - 洛谷

【题目描述】

这是农场上一个炎热的夏日，Farmer John 要给他的 \(N\) 头奶牛发柠檬汽水了！所有的 \(N\) 头奶牛（编号为 \(1 \dots N\)）都喜欢柠檬汽水，只是有些喜欢的程度更高一些。具体来说，奶牛 \(i\) 为了获得柠檬汽水，最多愿意排在 \(w_i\) 头奶牛之后。现在所有的 \(N\) 头奶牛都在田里，但只要 Farmer John 敲响牛铃，这些奶牛就会立刻赶到柠檬汽水站。她们会在 Farmer John 开始分发柠檬汽水之前到达，但没有两头奶牛会在同一时刻到达。此外，当奶牛 \(i\) 到达时，当且仅当队伍中至多有 \(w_i\) 头奶牛时，她才会加入队伍。

Farmer John 想要提前准备一定量的柠檬汽水，但他不想浪费。排队的奶牛数量可能取决于她们的到达顺序。请帮助他求出在所有可能的到达顺序下，最小的可能排队奶牛数量。

【输入】

第一行包含 \(N\)，第二行包含 \(N\) 个用空格分隔的整数 \(w_1, w_2, \dots, w_N\)。输入保证 \(1 \leq N \leq 10^5\)，此外对于每头奶牛 \(i\)，\(0 \leq w_i \leq 10^9\)。

【输出】

输出在所有可能的奶牛到达顺序下，最小的可能排队奶牛数量。

【输入样例】

5
7 1 400 2 2

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 头奶牛，每头奶牛 \(i\) 最多愿意排在 \(w_i\) 头奶牛之后。奶牛按到达顺序依次决定是否入队，当且仅当当前队伍中已有奶牛数量 \(\leq w_i\) 时才会加入。目标是安排到达顺序，使得最终排队奶牛数量最小。

2. 算法选择：

   • 贪心策略：将奶牛按 \(w_i\) 从大到小排序，让"容忍度最高"的奶牛先到达
   • 关键观察：若当前队伍已有 \(k\) 头奶牛，新到达的奶牛 \(i\) 愿意入队的条件是 \(w_i \geq k\)。为了让尽可能少的奶牛入队，应该让 \(w_i\) 大的奶牛优先到达，因为她们的容忍度高，更容易在队伍较长时仍愿意加入

3. 关键步骤：

   • 排序：将所有奶牛的 \(w_i\) 按降序排列
   • 贪心遍历：按排序后的顺序模拟奶牛到达，维护当前队伍中已有的奶牛数量 \(cnt\)（初始为 \(0\)）
   • 入队判定：对于第 \(i\) 个到达的奶牛（排序后），若 \(w_i \geq cnt\)（即她愿意排在至少 \(cnt\) 头奶牛之后），则她加入队伍，\(cnt++\)
   • 终止条件：若某头奶牛 \(w_i < cnt\)，则她及之后所有奶牛都无法入队（因为后续奶牛的 \(w\) 更小或相等，队伍只会更长），直接终止遍历
   • 输出答案：\(cnt\) 即为最小排队数量

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，排序 \(O(N \log N)\)，遍历 \(O(N)\)
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储 \(w\) 数组

5. 贪心排序的核心思想：

   • 优先让"宽容者"先到达：\(w_i\) 大的奶牛对队伍长度容忍度高，先让她们到达可以"占据"队伍位置，阻止 \(w_i\) 小的奶牛后续入队
   • 反证法验证：假设存在最优解中某头 \(w\) 大的奶牛排在 \(w\) 小的奶牛之后，交换两者顺序后，\(w\) 大的奶牛仍然能入队（因为前面队伍更短），而 \(w\) 小的奶牛可能因前面变长而无法入队，结果不会变差
   • 单调性利用：排序后，若第 \(i\) 个奶牛无法入队，则后续所有奶牛的 \(w\) 更小，必然也无法入队，可直接终止
   • 问题转化：本质上是在寻找一个最长前缀，使得排序后第 \(i\) 个元素满足 \(w_i \geq i-1\)
   • 适用于"按某种属性排序后贪心选择"的排队、调度类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, w[100005], ans=0;
bool cmp(int x, int y)
{
    return x>y;
}
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 输入n头奶牛的wi
        cin >> w[i];
    }
    sort(w+1, w+n+1, cmp);  // 按照从大到小方式排序
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n头奶牛
        if (w[i]>=i-1) ans++;  // 如果wi大于等于i-1，即大于等于队伍中的奶牛数，则说明这头奶牛可以进入队伍中
        else break;  // 否则结束循环（后面都肯定进不了队伍了）
    }
    cout << ans << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

5
7 1 400 2 2
3