题解：洛谷 P3056 Clumsy Cows

【题目来源】

洛谷：P3056 [USACO12NOV] Clumsy Cows S - 洛谷

【题目描述】

奶牛 Bessie 正试图在她的新笔记本电脑上输入一个平衡的括号字符串，但由于她的蹄子很大（因此非常笨拙），她不断地输入错误的字符。请通过计算要使该字符串变为平衡，最少需要反转多少个字符（例如，将左括号变为右括号，或反之）来帮助她。

对于“括号字符串平衡”有几种定义方法。或许最简单的定义是，字符串中的 ( 和 ) 总数必须相同，并且对于字符串的任何前缀，( 的数量必须不少于 ) 的数量。例如，以下字符串都是平衡的：

()

(())

()(()())

而以下则不平衡：

)(

())(

((())))

【输入】

一个只包含(和)的字符串，长度为偶数，最多 \(100000\) 个字符。

【输出】

一个整数，表示要将该字符串变为平衡字符串，最少需要反转的括号数量。

【输入样例】

())(

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个由 ( 和 ) 组成的字符串，求最少反转多少个括号使其变为平衡字符串。平衡的定义：左右括号数量相等，且任意前缀中 ( 的数量不少于 ) 的数量。这是一个栈模拟/贪心问题，关键在于用栈处理匹配，统计不匹配的括号数量。

2. 算法选择：

   • 栈模拟匹配：遍历字符串，遇到 ( 入栈，遇到 ) 尝试出栈。若栈空时遇到 )，说明需要反转（num1++），并将反转后的 ( 入栈
   • 剩余左括号处理：遍历结束后栈中剩余的 ( 需要一半改为 )（num2/2）

3. 关键步骤：

   • 读取输入：字符串 \(S\)
   • 栈处理（遍历每个字符）：
     • 若为 (：入栈
     • 若为 )：
       • 若栈空：\(num1 \mathrel{+}= 1\)（需要反转），将 ( 入栈（模拟反转）
       • 否则：出栈（匹配成功）
   • 统计剩余：栈中剩余左括号数 = \(num2\)，需要 \(num2/2\) 次反转
   • 输出 \(num1 + num2/2\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(|S|)\)
   • 空间复杂度：\(O(|S|)\)，栈空间

5. 栈匹配的核心思想：

   • 贪心匹配：遇到 ) 时优先与栈顶 ( 匹配，无法匹配则立即反转（贪心策略保证最优）
   • 反转代价统一：栈空时遇到 ) 反转代价为 \(1\)，后续可与后面的 ) 匹配；剩余 ( 两两配对，每对需反转一个
   • 平衡条件转化：最终栈中剩余 \(num2\) 个 (，说明有 \(num2\) 个 ( 多余，由于总数平衡，必有 \(num2\) 个 ) 也多余（已计入 \(num1\)），每对需一次反转
   • 适用于"括号匹配 + 最小修改"类问题，核心是用栈模拟并统计不匹配情况

【解题思路】

【算法标签】

普及- #栈

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s;
int num1, num2;
int main()
{
    cin >> s;  // 输入字符串s
    stack<char> st;  // 定义队列
    for (int i=0; i<s.length(); i++) {  // 遍历所有字符
        if (s[i]=='(') {  // 如果是左括号
            st.push('(');  // 就压入栈中
        } else {  // 如果是右括号
            if (st.empty()) {  // 如果栈为空
                num1++;  // 则调整计数器自增1
                st.push('(');  // 修改为左括号后压入栈
            } else {  // 如果不为空
                st.pop();  // 则弹出栈顶的左括号
            }
        }
    }
    while (!st.empty()) {  // 当栈不为空
        st.pop();  // 统计栈中有多少左括号
        num2++;
    }
    cout << num2/2+num1 << endl;  // 栈中左括号中有一半需要修改为右括号，再加上之前统计的值
    return 0;
}

【运行结果】

())(
2