题解：洛谷 P3009 Profits

【题目来源】

洛谷：P3009 [USACO11JAN] Profits S - 洛谷

【题目描述】

奶牛们开始了新的生意，它们的主人约翰想知道它们到底能做得多好。这笔生意已经做了 \(N(1\le N\le 10^5)\) 天，每天奶牛们都会记录下这一天的利润 \(P_i(\vert Pi\vert ≤1,000)\)。

约翰想要找到奶牛们在连续的时间期间所获得的最大的总利润。（注：连续时间的周期长度范围从第一天到第 \(N\) 天）。

请你写一个计算最大利润的程序来帮助他。

【输入】

第一行，一个单独的整数 \(N\)。

接下来 \(N\) 行，第 \(i+1\) 行包括一个单独的整数 \(P_i\)。

【输出】

一行，一个整数，表示任意连续时间段利润最大和的数值。

【输入样例】

7
-3
4
9
-2
-5
8
-3

【输出样例】

14

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 天的利润序列 \(P_i\)（可为负数），求连续子数组的最大和。这是一个经典的最大子段和/线性DP问题，关键在于用动态规划维护以第 \(i\) 天结尾的连续子数组的最大和。

2. 算法选择：

   • 线性DP（Kadane算法）：\(a[i]\) 表示以第 \(i\) 天结尾的连续子数组的最大和，转移方程为 \(a[i] = \max(a[i-1] + P_i,\ P_i)\)，即要么延续前面的子数组，要么从第 \(i\) 天重新开始

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(N\) 和 \(N\) 天的利润 \(P_i\)
   • 初始化：\(maxn = -\infty\)
   • 线性DP（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
     • \(a[i] = \max(a[i-1] + a[i],\ a[i])\)：以第 \(i\) 天结尾的最大子段和
     • \(maxn = \max(maxn,\ a[i])\)：更新全局最大值
   • 输出 \(maxn\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，可滚动优化为仅维护前一个状态

5. Kadane算法的核心思想：

   • 局部最优子结构：以第 \(i\) 天结尾的最大子段和，要么包含第 \(i-1\) 天的最优子段（延续），要么只包含第 \(i\) 天（重新开始）
   • 负数处理：当 \(a[i-1] < 0\) 时，\(a[i-1] + P_i < P_i\)，自动选择从 \(i\) 重新开始，避免负数拖累
   • 全局最大值追踪：由于最大子段和可能出现在任意位置，需要维护全局最大值
   • 适用于"连续子数组最大和"类经典问题，核心是 \(O(N)\) 的线性递推

【解题思路】

【算法标签】

普及- #线性DP-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[100005], maxn=-1e9;
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 输入n个数
        cin >> a[i];
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 使用连续子序列最大和的模板
        a[i] = max(a[i]+a[i-1], a[i]);
        maxn = max(maxn, a[i]);  // 每次计算完需要判断最大值
    }
    cout << maxn << endl;  // 输出最大值
    return 0;
}

【运行结果】

7
-3
4
9
-2
-5
8
-3
14