题解：洛谷 P2984 Chocolate Giving

【题目来源】

洛谷：P2984 [USACO10FEB] Chocolate Giving S - 洛谷

【题目描述】

FJ 有 \(B\) 头奶牛 \((1\le B\le 25000)\)，有 \(N(2\times B\le N\le 50000)\) 个农场，编号 \(1\) 到 \(N\)，有 \(M(N-1\le M\le 100000)\) 条双向边，第 \(i\) 条边连接农场 \(R_i\) 和 \(S_i(1\le R_i\le N, 1\le S_i\le N)\)，该边的长度是 \(L_i(1\le L_i\le 2000)\)。居住在农场 \(P_i\) 的奶牛 A \((1\le P_i\le N)\)，想送一份新年礼物给居住在农场 \(Q_i(1\le Q_i\le N)\) 的奶牛 B，但是奶牛 A 必须先到 FJ（居住在编号 \(1\) 的农场）那里取礼物，然后再送给奶牛 B。你的任务是：奶牛 A 至少需要走多远的路程？

【输入】

第一行三个整数 \(N,M,B\)。
第 \(2\) 至 \(M+1\) 行，每行 \(3\) 个整数 \(R_i,S_i,L_i\)。
第 \(M+2\) 至 \(M+B+1\) 行，进行 \(B\) 次询问，每行 \(2\) 个整数 \(P_i ,Q_i\)。

【输出】

每次询问输出一个整数，即答案。

【输入样例】

【输出样例】

6
6
10

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 个农场、\(M\) 条双向边的无向带权图，\(B\) 头奶牛分别住在不同农场。每头奶牛要从自己的农场 \(P_i\) 到 FJ 的农场 \(1\) 取礼物，再送到目标农场 \(Q_i\)。求每头奶牛的最短总路程。这是一个单源最短路 + 路径拆分问题，关键在于发现总路程 = \(dist(1, P_i) + dist(1, Q_i)\)，即两次从农场 \(1\) 出发的最短路之和。
算法选择：
- Dijkstra（堆优化）：从农场 \(1\) 运行一次 Dijkstra，得到到所有农场的最短距离
- 路径拆分：奶牛 A 的路径为 \(P_i \to 1 \to Q_i\)，由于图是无向的，\(dist(P_i, 1) = dist(1, P_i)\)，总路程 = \(dist[1][P_i] + dist[1][Q_i]\)
关键步骤：
- 读取输入：\(N, M, B\) 和 \(M\) 条边 \((R_i, S_i, L_i)\)
- 建图：无向图，链式前向星存储
- Dijkstra：从节点 \(1\) 出发，计算到所有节点的最短距离 \(dist[]\)
- 处理查询（\(B\) 次）：
  - 读入 \(P_i, Q_i\)
  - 输出 \(dist[P_i] + dist[Q_i]\)
- 结束
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O((N + M) \log N + B)\)，Dijkstra 为 \(O((N+M)\log N)\)，每次查询 \(O(1)\)
- 空间复杂度：\(O(N + M)\)，邻接表和距离数组
Dijkstra 单源最短路的核忈思想：
- 无向图的对称性：\(dist(u, v) = dist(v, u)\)，因此 \(P_i \to 1\) 的最短路就是 \(1 \to P_i\) 的最短路
- 一次计算多次查询：所有查询都涉及农场 \(1\)，只需运行一次 Dijkstra，之后每个查询 \(O(1)\) 回答
- 堆优化效率：使用优先队列将 Dijkstra 复杂度从 \(O(N^2)\) 优化到 \(O((N+M)\log N)\)，适合稀疏图
- 适用于"单源多查询 + 路径经过固定中转点"类问题，核心是利用无向对称性减少计算次数

【算法标签】

普及 #Dijkstra

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50005, M = 100005 * 2;
typedef pair<int, int> PII;
int n, m, b;  // n: 节点数, m: 边数, b: 查询次数
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;  // 邻接表
int dist[N];  // 距离数组
bool st[N];  // 标记数组
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> pq;  // 最小堆

// 添加无向边
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// Dijkstra算法求单源最短路径
void dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));  // 初始化为无穷大
    dist[1] = 0;  // 起点距离为0
    pq.push({0, 1});  // 起点加入堆
    while (!pq.empty())
    {
        auto t = pq.top();
        pq.pop();
        int ver = t.second, distance = t.first;  // 当前节点和距离
        if (st[ver])  // 已处理过
        {
            continue;
        }
        st[ver] = true;  // 标记已处理
        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])  // 遍历邻居
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])  // 松弛操作
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                pq.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n >> m >> b;  // 输入节点数, 边数, 查询次数
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for (int i = 1; i <= m; i++)  // 建图
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        add(u, v, w), add(v, u, w);  // 无向图
    }
    dijkstra();  // 计算从节点1到所有节点的最短距离
    while (b--)  // 处理查询
    {
        int p, q;
        cin >> p >> q;  // 输入两个节点
        cout << dist[p] + dist[q] << endl;  // 输出距离和
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-28 15:57 团爸讲算法阅读(4) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

题解：洛谷 P2984 Chocolate Giving

普及 #Dijkstra

公告