题解：洛谷 P2960 Invasion of the Milkweed

【题目来源】

洛谷：P2960 [USACO09OCT] Invasion of the Milkweed G - 洛谷

【题目描述】

农夫约翰一直尽力保持牧场里长满丰盛、美味且健康的草供奶牛食用。然而，他输掉了这场战斗，因为邪恶的乳草在他的农场西北部站稳了脚跟。

牧场通常被划分为一个直角网格，高度为 \(Y\)（\(1 \le Y \le 100\)），宽度为 \(X\)（\(1 \le X \le 100\)），其中 \((1,1)\) 位于左下角（即，排列为正常的 \(X,Y\) 坐标网格）。乳草最初开始在方格 \((M_x,M_y)\) 生长。每周，乳草会传播到它已经占据的任何方格周围的所有非岩石方格，最多可以传播到八个方格（包括直角方格和对角线方格）。在这些方格中仅仅一周后，它就准备好继续传播到更多方格。

贝茜想在牧场被乳草占领之前尽可能多地享受青草。她想知道牧场能持续多久。如果乳草在时间零时位于方格 \((M_x,M_y)\)，那么它在何时完成对牧场的入侵（对于给定的输入数据，这种情况总会发生）？

牧场由一个图示描述，'.' 代表草，'*' 代表巨石，如下例所示，\(X=4\)，\(Y=3\)：

....
..*.
.**.

如果乳草从左下角开始（行=1，列=1），那么地图将按如下方式演变：

    ....  ....  MMM.  MMMM  MMMM
    ..*.  MM*.  MM*.  MM*M  MM*M
    M**.  M**.  M**.  M**.  M**M
week  0    1    2    3    4

乳草在 4 周后占领了整个牧场。

【输入】

* 第 1 行：四个以空格分隔的整数：\(X\)，\(Y\)，\(M_x\) 和 \(M_y\)

* 第 2 行到第 \(Y+1\) 行：第 \(y + 1\) 行描述了牧场的第 \((Y + 1 - y)\) 行，其中包含 \(X\) 个字符（'.' 代表草，'*' 代表巨石）

【输出】

* 第 1 行：一个整数，表示乳草占领牧场最后一个非巨石方格的周数。

【输入样例】

4 3 1 1
....
..*.
.**.

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(X \times Y\) 的网格，乳草从 \((M_x, M_y)\) 开始，每周向八邻域（上下左右及四个对角线）的非岩石格子传播。求乳草占领最后一个非岩石格子所需的周数。这是一个八方向BFS/洪水填充问题，关键在于正确处理八邻域扩展和坐标系转换。
算法选择：
- BFS层序扩展：乳草每周向外扩展一层，BFS的层数恰好对应周数
- 八方向搜索：上下左右 + 四个对角线，共 \(8\) 个方向
- 坐标系转换：题目中 \((1,1)\) 在左下角，而数组通常从上到下存储，需要行坐标转换
关键步骤：
- 读取输入：\(X, Y, M_x, M_y\) 和网格地图
- 坐标转换：输入行坐标 \(x\) 转换为数组行索引 \(x = n - x + 1\)（翻转行顺序）
- BFS初始化：起点 \((x, y)\) 入队，\(step = 0\)，标记访问
- BFS扩展：
  - 取出队首 \((xx, yy, step)\)
  - 遍历 \(8\) 个方向 \((nx, ny)\)：
    - 边界检查、访问检查、岩石检查（'*'）
    - 若合法：标记访问，入队 \((nx, ny, step+1)\)，\(ans = \max(ans, step+1)\)
- 输出 \(ans\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(X \cdot Y)\)，每个格子最多入队一次
- 空间复杂度：\(O(X \cdot Y)\)，访问标记和队列
八方向BFS的核心思想：
- 层数=时间：BFS每扩展一层对应一周，最后访问的格子的 \(step\) 即为总周数
- 八连通性：包含对角线方向的传播，比四方向BFS多 \(4\) 个扩展方向
- 坐标系映射：题目使用左下角为原点的坐标系，通过 \(n - x + 1\) 转换为数组的从上到下索引
- 洪水填充：从起点开始逐步"淹没"所有可达区域，记录最后淹没的位置的时间
- 适用于"网格扩散 + 时间计算"类问题，核心是BFS层序扩展和正确的方向/坐标处理

【算法标签】

普及 #BFS-二维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;  // 网格最大尺寸
int n, m, x, y, ans;  // n: 行数，m: 列数，x,y: 起始坐标，ans: 最大步数
char a[N][N];  // 网格地图
bool vis[N][N];  // 访问标记数组
int dx[8] = {-1,-1,-1,0,0,1,1,1};  // 8个方向的行偏移量
int dy[8] = {-1,0,1,-1,1,-1,0,1};  // 8个方向的列偏移量

struct Node
{
    int x, y, step;  // 节点坐标和步数
};

void bfs()
{
    queue<Node> q;
    q.push({x, y, 0});  // 起点入队
    vis[x][y] = 1;  // 标记起点已访问

    while (!q.empty())
    {
        int xx = q.front().x, yy = q.front().y, step = q.front().step;
        q.pop();

        // 遍历8个方向
        for (int i = 0; i < 8; i++)
        {
            int nx = xx + dx[i], ny = yy + dy[i];  // 计算新坐标

            // 检查边界
            if (nx < 1 || nx > n || ny < 1 || ny > m) continue;

            // 检查是否已访问
            if (vis[nx][ny]) continue;

            // 检查是否为障碍
            if (a[nx][ny] == '*') continue;

            // 标记访问并加入队列
            vis[nx][ny] = 1;
            q.push({nx, ny, step + 1});
            ans = max(ans, step + 1);  // 更新最大步数
        }
    }
}

int main()
{
    // 读入网格尺寸和起始坐标
    // 注意输入顺序：先列数m，再行数n，再列坐标y，再行坐标x
    cin >> m >> n >> y >> x;

    // 调整行坐标（题目坐标系与数组索引的转换）
    x = n - x + 1;  // 将输入的行坐标转换为数组索引

    // 读入网格地图
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    // 标记起点为已访问状态
    a[x][y] = '#';

    // 开始广度优先搜索
    bfs();

    // 输出从起点出发能到达的最远步数
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

4 3 1 1
....
..*.
.**.
4

posted @ 2026-08-28 15:56 团爸讲算法阅读(5) 评论(0) 收藏举报

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