题解：洛谷 P2956 The Robot Plow

【题目来源】

洛谷：P2956 [USACO09OCT] The Robot Plow G - 洛谷

【题目描述】

农夫约翰购买了一台新的自动耕地机器人，以将自己从日复一日犁地的繁重劳动中解脱出来。这台机器人确实能完成耕地任务，但有一个小缺点：它只能犁出各边长度均为整数的完美矩形地块。

由于约翰的田地中分布着树木和其他障碍物，他需要设定机器人犁耕多个不同的矩形区域，这些区域可能会有重叠。他很好奇，在按照各种耕地指令（每个指令通过给出矩形的左下角和右上角 x、y 坐标来描述）编程后，田地里实际被犁过的方格数量究竟有多少。

和往常一样，田地被划分为若干方格，这些方格的边与 x 轴和 y 轴平行。整块田地的宽度为 \(X\) 个方格，高度为 \(Y\) 个方格 \(1\le X,Y \le 240)\)。共有 \(I\) 条耕地指令 \((1\le I \le 200)\)，每条指令包含四个整数：\(Xll、Yll、Xur \text{ 和 } Yur\text{ (}1 \le Xll \le Xur \le X;1 \le Yll \le Yur \le Y）\)，分别表示待犁矩形的左下角和右上角坐标。机器人会犁耕区间 \((Xll \dots Xur, Yll \dots Yur)\) 内的所有田地方格——根据不同的理解方式，这个区间可能比初始设想的多一行或一列（当然，具体取决于你如何理解）。

以一块宽 6 格、高 4 格的田地为例。当约翰发出两条耕地指令（如下所示）时，田地的犁耕情况如 * 和 # 所示（通常犁过的田地看起来相同，这里用 # 表示最近犁过的区域）：

......             **....             #####.
......  (1,1)(2,4) **....  (1,3)(5,4) #####.
......             **....             **....
......             **....             **....

最终共有 14 个方格被犁过。

得分：25 分

【输入】

共 \(I+1\) 行

第一行，三个空格分隔的整数：\(X、Y\text{ 和 }I\)

第二行到第 \(I+1\) 行：第 \(i+1\) 行包含第 \(i\) 条耕地指令，由四个整数描述：\(Xll、Yll、Xur \text{ 和 } Yur\)

【输出】

一行，一个整数，表示被犁过的方格总数

【输入样例】

6 4 2
1 1 2 4
1 3 5 4

【输出样例】

14

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(X \times Y\) 的网格和 \(I\) 个矩形犁耕指令，每个指令将指定矩形区域内的格子标记为已犁。求最终被犁过的格子总数（重叠区域只计一次）。这是一个二维差分/直接标记问题，关键在于用二维数组标记所有被覆盖的格子，最后统计标记数量。

2. 算法选择：

   • 直接标记：由于 \(X, Y \le 240\) 且 \(I \le 200\)，直接对每个矩形区域进行双重循环标记，最后统计所有标记为 \(1\) 的格子即可

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(X, Y, I\) 和 \(I\) 条指令 \((X_{ll}, Y_{ll}, X_{ur}, Y_{ur})\)
   • 标记格子：对于每条指令，双重循环遍历 \([X_{ll}, X_{ur}] \times [Y_{ll}, Y_{ur}]\)，将 \(a[i][j]\) 置为 \(1\)
   • 统计答案：遍历整个 \(X \times Y\) 网格，统计 \(a[i][j] = 1\) 的格子数
   • 输出 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(I \cdot X \cdot Y + X \cdot Y)\)，每次标记最多 \(240 \times 240\)，统计一次全网格
   • 空间复杂度：\(O(X \cdot Y)\)，标记数组

5. 直接标记的核心思想：

   • 小规模直接模拟：\(X, Y \le 240\) 使得直接暴力标记完全可行，无需复杂优化
   • 重叠自动去重：同一个格子被多次标记仍为 \(1\)，最后统计时自然只计一次
   • 坐标映射：题目坐标直接对应数组下标，无需额外转换
   • 适用于"小规模网格 + 矩形覆盖统计"类问题，核心是直接模拟覆盖过程

【解题思路】

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int x, y, I, xll, yll, xur, yur, ans=0;
int a[245][245] = {0};  // 初始化田地，缺省所有位置均为0
int main()
{
    cin >> x >> y >> I;  // 输入x、y和I
    for (int i=1; i<=I; i++) {  // 遍历I次操作
        cin >> xll >> yll >> xur >> yur;  // 记录下左下角和右上角的坐标（将矩阵顺时针旋转90度，则是左上角和右下角的坐标）
        for (int i=xll; i<=xur; i++) {  // 遍历左上角至左下角的坐标范围
            for (int j=yll; j<=yur; j++) {
                a[i][j] = 1;  // 该范围内所有位置均赋值为1
            }
        }
    }
    for (int i=1; i<=x; i++) {  // 遍历x和y范围的田地
        for (int j=1; j<=y; j++) {
            if (a[i][j]) ans++;  // 如果当前位置为1，则表示被犁过了，ans自增1
        }
    }
    cout << ans << endl;  //  打印被犁过的的地方
    return 0;
}

【运行结果】

6 4 2
1 1 2 4
1 3 5 4
14