题解：洛谷 P2949 Work Scheduling

【题目来源】

洛谷：P2949 [USACO09OPEN] Work Scheduling G - 洛谷

【题目描述】

约翰有太多的工作要做。为了让农场高效运转，他必须靠他的工作赚钱，每项工作花一个单位时间。他的工作日从 0 时刻开始，有 $10^9$ 个单位时间。在任一时刻，他都可以选择编号 $1$ 到 $N$ 的 $N(1 \leq N \leq 10^5)$ 项工作中的任意一项工作来完成。因为他在每个单位时间里只能做一个工作，而每项工作又有一个截止日期，所以他很难有时间完成所有$N$个工作，虽然还是有可能。对于第 $i$ 个工作，有一个截止时间 $D_i(1 \leq D_i \leq 10^9)$，如果他可以完成这个工作，那么他可以获利 $P_i( 1\leq P_i\leq 10^9 )$。在给定的工作利润和截止时间下，约翰能够获得的利润最大为多少。

【输入】

Line $1$: A single integer: $N$
Lines $2..N+1$: Line $i+1$ contains two space-separated integers: $D_i $and $P_i$

【输出】

Line $1$: A single number on a line by itself that is the maximum possible profit FJ can earn.

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 $N$ 项工作，每项工作需 $1$ 单位时间，有截止时间 $D_i$ 和利润 $P_i$。同一时刻只能做一项工作，求在截止日期前完成的工作的最大总利润。这是一个反悔贪心/优先队列问题，关键在于按截止时间排序后，用最小堆维护已选工作，当时间不足时"反悔"替换掉利润最小的工作。
算法选择：
- 按截止时间排序：将工作按 $D_i$ 升序排列，便于按时间顺序处理
- 最小堆维护已选工作：用优先队列存储已选工作的利润，堆顶为最小利润
- 反悔策略：当已选工作数等于当前截止时间（时间已满），若新工作利润更高，则替换掉堆顶的最小利润工作
关键步骤：
- 读取输入：$N$ 和 $N$ 项工作的 $(D_i, P_i)$
- 排序：按 $D_i$ 升序排列
- 贪心处理（$i$ 从 $1$ 到 $N$）：
  - 若 $w[i].d > q.size()$：截止时间大于已选工作数，时间充足，直接选入堆，$ans \mathrel{+}= P_i$
  - 若 $w[i].d = q.size()$：时间恰好用完，比较当前工作利润与堆顶最小利润：
    - 若 $P_i > q.top()$：弹出堆顶（反悔），加入当前工作，$ans = ans - q.top() + P_i$
- 输出 $ans$
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：$O(N \log N)$，排序 $O(N \log N)$，堆操作 $O(N \log N)$
- 空间复杂度：$O(N)$，优先队列存储已选工作
反悔贪心的核心思想：
- 截止时间即容量：截止时间 $D_i$ 表示到该时刻最多能完成 $D_i$ 项工作，已选工作数不能超过当前截止时间
- 局部最优可能非全局最优：直接贪心选利润最大的工作可能导致后续高利润工作无法安排，反悔机制允许用更高利润替换已选的低利润工作
- 最小堆实现高效反悔：堆顶始终维护已选工作中的最小利润，替换操作 $O(\log N)$
- 正确性保证：按截止时间顺序处理，确保每个时刻的决策基于当前最优信息，反悔保证最终全局最优
- 适用于"带截止时间的调度 + 利润最大化"类经典问题，核心是排序后用堆维护可替换的最优解

【算法标签】

提高+ #反悔贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, ans;  // n: 任务数, ans: 最大利润
struct Node
{
    int d, p;  // d: 截止时间, p: 利润
    bool operator < (Node &x)  // 按截止时间排序
    {
        return d < x.d;
    }
} w[100005];
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;  // 最小堆，存储已选择任务的利润

signed main()
{
    cin >> n;  // 输入任务数
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> w[i].d >> w[i].p;  // 输入截止时间和利润
    }
    sort(w + 1, w + n + 1);  // 按截止时间排序
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (w[i].d == q.size())  // 已选任务数等于当前任务截止时间
        {
            if (w[i].p > q.top())  // 当前任务利润大于已选任务的最小利润
            {
                ans -= q.top();  // 反悔：移除最小利润任务
                q.pop();
                q.push(w[i].p);  // 选择当前任务
                ans += w[i].p;  // 更新总利润
            }
        }
        else  // 还可以选择更多任务
        {
            q.push(w[i].p);  // 选择当前任务
            ans += w[i].p;  // 更新总利润
        }
    }
    cout << ans;  // 输出最大利润
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-28 15:56 团爸讲算法阅读(7) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P2949 Work Scheduling

提高+ #反悔贪心

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