题解：洛谷 P2945 Sand Castle

【题目来源】

洛谷：P2945 [USACO09MAR] Sand Castle S - 洛谷

【题目描述】

农夫 John 建造了一座沙堡！像所有好的城堡一样，城墙上有垛口，那种由垛口（空隙）和垛堞（填充空间）组成的精巧图案；见下图。他的城堡墙上的 N（1 <= N <= 25,000）个垛堞被方便地编号为 1 到 N；垛堞 i 的高度为 \(M_i\)（1 <= \(M_i\) <= 100,000）；他的垛堞高度常常不同，这与许多其他的不同。

他希望以以下方式修改城堡设计：他有一个从 \(B_1\) 到 \(B_N\)（1 <= \(B_i\) <= 100,000）的数字列表，并希望将垛堞的高度更改为这些高度 \(B_1, ..., B_N\) 的某种顺序（不一定是给定的顺序或从数据派生的任何其他顺序）。

为此，他雇佣了一些牛工匠来增加和降低垛堞的高度。当然，工匠们要价很高。特别是，他们向 FJ 收取总共 \(X\)（1 <= \(X\) <= 100）每单位高度增加的钱和 \(Y\)（1 <= \(Y\) <= 100）每单位高度减少的钱。

FJ 想知道如果他选择最佳的高度排列，修改他的沙堡的最低可能成本是多少。答案保证适合 32 位有符号整数。

注意：大约 40% 的测试数据将有 N <= 9，大约 60% 将有 N <= 18。

【输入】

* 第 1 行：三个用空格分隔的整数：N, X 和 Y

* 第 2 行到第 N+1 行：第 i+1 行包含两个用空格分隔的整数：\(M_i\) 和 \(B_i\)

【输出】

* 第 1 行：一个整数，重建城堡所需的最低成本

【输入样例】

3 6 5
3 1
1 2
1 2

【输出样例】

11

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个垛堞的当前高度 \(M_i\) 和目标高度集合 \(B_i\)（可任意排列），增加单位高度花费 \(X\)，降低单位高度花费 \(Y\)。求将垛堞高度修改为 \(B\) 的某种排列后的最小总成本。这是一个贪心匹配问题，关键在于发现将 \(M\) 和 \(B\) 分别排序后按顺序一一匹配可使总成本最小。

2. 算法选择：

   • 排序后贪心匹配：将当前高度数组 \(M\) 和目标高度数组 \(B\) 分别升序排序，然后按位置 \(i\) 一一对应匹配
   • 成本计算：对每个位置，若 \(M_i < B_i\) 则增加，成本为 \((B_i - M_i) \times X\)；否则降低，成本为 \((M_i - B_i) \times Y\)

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(N, X, Y\) 和 \(N\) 对 \((M_i, B_i)\)
   • 分离数组：将 \(M_i\) 存入 \(M[1..N]\)，\(B_i\) 存入 \(B[1..N]\)
   • 排序：sort(M+1, M+N+1)，sort(B+1, B+N+1)
   • 计算成本（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
     • 若 \(M_i < B_i\)：\(sum \mathrel{+}= (B_i - M_i) \times X\)
     • 否则：\(sum \mathrel{+}= (M_i - B_i) \times Y\)
   • 输出 \(sum\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，排序主导
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储两个高度数组

5. 贪心匹配的核心思想：

   • 重排不等式：对于两组数，顺序配对（同为升序或降序）的差的绝对值之和最小，逆序配对最大。本题是重排不等式的推广（带权差的和最小化）
   • 单调性保持：将最小的当前高度匹配到最小的目标高度，避免"大跨度调整"带来的高额成本
   • 独立成本累加：每个垛堞的调整成本独立计算，总成本为各位置成本之和，排序匹配保证全局最优
   • 适用于"两组数配对 + 差值成本最小化"类问题，核心是通过排序实现最优匹配

【解题思路】

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, x, y;
long long sum=0;
int m[100005],b[100005];
int main()
{
    cin >> n >> x >> y;  // 输入n、x和y
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n行数据
        cin >> m[i] >> b[i];  // 记录高度和预期高度
    }
    sort(m+1, m+n+1);  // 高度按照从小到大排序
    sort(b+1, b+n+1);  // 预期高度也按照从小到大排序
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 依次遍历n个齿轮
        if (m[i]<b[i]) {  // 如果高度小于预期高度
            sum += 1ll*(b[i]-m[i])*x;  // 需要提高高度
        } else {  // 否则
            sum += 1ll*(m[i]-b[i])*y;  // 需要降低高度
        }
    }
    cout << sum << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

3 6 5
3 1
1 2
1 2
11