题解：洛谷 P2909 Cow Cars

【题目来源】

【题目描述】

在 Cowtopia 的高速公路上，有 \(N\) 头奶牛（\(1 \leq N \leq 50,000\)），它们被方便地编号为 \(1..N\)，分别驾驶着不同的汽车。奶牛 \(i\) 可以在 \(M\) 条不同的高速车道上行驶（\(1 \leq M \leq N\)），并且可以以最大速度 \(S_i\)（\(1 \leq S_i \leq 1,000,000\)）公里/小时行驶。

在经历了其他糟糕的驾驶体验后，奶牛们讨厌碰撞，并采取了极端措施来避免它们。在这条高速公路上，奶牛 \(i\) 会因为在它前面的每一头奶牛而将速度减少 \(D\)（\(0 \leq D \leq 5,000\)）公里/小时（但速度不会低于 0 公里/小时）。因此，如果在奶牛 \(i\) 前面有 \(K\) 头奶牛，那么它将以 \(\max[S_i - D \times K, 0]\) 的速度行驶。虽然奶牛实际上可能比直接在它前面的奶牛行驶得更快，但奶牛之间的间距足够大，因此一旦奶牛减速，就不会发生碰撞。

Cowtopia 有一条最低速度法则，要求高速公路上的所有车辆都必须以最低速度 \(L\)（\(1 \leq L \leq 1,000,000\)）公里/小时行驶，因此有时一些奶牛在遵循上述规则时将无法上高速公路。编写一个程序，找出在遵守最低速度限制法的情况下，能够在高速公路上行驶的最大奶牛数量。

【输入】

* 第 1 行：四个以空格分隔的整数：\(N\)，\(M\)，\(D\) 和 \(L\)

* 第 2 行到第 \(N+1\) 行：第 \(i+1\) 行用一个整数描述奶牛 \(i\) 的初始速度：\(S_i\)

【输出】

* 第 1 行：一个整数，表示可以使用高速公路的最大奶牛数量

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 头奶牛的初始速度 \(S_i\)，\(M\) 条车道，减速规则为前面有 \(K\) 头牛时速度变为 \(\max(S_i - D \times K, 0)\)，最低限速为 \(L\)。求能上高速的最大奶牛数量。这是一个贪心排序 + 模拟分配问题，关键在于将速度慢的奶牛优先安排（减少后续减速影响），并用 \(K = \lfloor \text{已安排数} / M \rfloor\) 计算当前牛前面的牛数量。
算法选择：
- 贪心排序：按速度从小到大排序，优先安排速度慢的奶牛。因为速度慢的奶牛对减速更敏感，先安排可确保它们在 \(K\) 较小时就满足条件
- 车道轮询模拟：\(K = ans / M\) 表示当前要安排的牛前面已有的牛数（已安排的 \(ans\) 头牛平均分配到 \(M\) 条车道，每条车道有 \(K\) 或 \(K+1\) 头）
关键步骤：
- 读取输入：\(N, M, D, L\) 和 \(N\) 个速度 \(S_i\)
- 排序：sort(a+1, a+N+1)，速度升序
- 贪心安排（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
  - \(K = ans / M\)：当前牛若加入，前面平均有 \(K\) 头牛
  - 若 \(S_i - K \times D \ge L\)：满足限速，\(ans \mathrel{+}= 1\)
- 输出 \(ans\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，排序主导
- 空间复杂度：\(O(N)\)，存储速度数组
贪心排序的核心思想：
- 慢牛优先：速度慢的奶牛对减速更敏感（\(S_i - K \times D\) 更容易低于 \(L\)），优先安排可确保它们在 \(K\) 较小时就被选中
- 车道均衡：\(ans / M\) 假设牛被均衡分配到 \(M\) 条车道，当前新牛加入任一车道的最坏情况就是前面有 \(\lceil ans / M \rceil\) 头牛。由于我们按最坏情况估计（\(K = \lfloor ans / M \rfloor\)），若此时满足条件则实际安排一定可行
- 最优性保证：将速度慢的牛放在前面，快的牛放在后面承受更多减速但仍可能满足条件，这是最大化数量的最优策略
- 适用于"排序后贪心验证 + 资源均衡分配"类问题，核心是理解 \(K\) 的计算方式和排序策略

【解题思路】

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, d, l, a[50005], ans=0;
int main()
{
    cin >> n >> m >> d >> l;  // 输入n、m、d和l
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 输入n个奶牛的速度
        cin >> a[i];
    }
    sort(a+1, a+n+1);  // 按照从小到大排序（不能将小的放后面，因为s-k*d后越来越小）
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n头奶牛
        int k = ans/m;  // 计算k值，将多个ans放到不同m中，如ans 1和2对应k 1，ans 3和4对应k 2
        if (a[i]-k*d>=l) ans++;  // 按照题意，车速不能低于l
    }
    cout << ans << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-28 15:55 团爸讲算法阅读(4) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P2909 Cow Cars

普及- #贪心

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