题解：洛谷 P2907 Roads Around The Farm

【题目来源】

洛谷：P2907 [USACO08OPEN] Roads Around The Farm S - 洛谷

【题目描述】

Farmer John 的奶牛对探索农场周围的领地产生了兴趣。最初，所有 \(N\) 头奶牛（\(1 \leq N \leq 10^9\)）以一个大群体的形式开始沿着一条道路旅行。当遇到岔路时，群体有时会选择分成两个较小的（非空）群体，每个群体沿着一条道路继续前进。当其中一个群体到达另一个岔路时，它可能会再次分裂，依此类推。

奶牛们设计了一种特殊的分裂方式：如果它们可以分裂成两个群体，使得群体的大小正好相差 \(K\)（\(1 \leq K \leq 1000\)），那么它们就会以这种方式分裂；否则，它们就停止探索，开始安静地吃草。

假设总是会有新的岔路，计算最终安静吃草的奶牛群的数量。

【输入】

两个空格分隔的整数，\(N\) 和 \(K\)。

【输出】

一个整数，表示安静吃草的奶牛群的数量。

【输入样例】

6 2

【输出样例 】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 头奶牛和差值 \(K\)，一个大小为 \(n\) 的群体若能分裂为两个非空群体且大小相差恰好 \(K\)（即 \(a - b = K\)，\(a + b = n\)），则继续分裂；否则停止。求最终停止的群体数量。这是一个递归分治问题，关键在于发现分裂条件可解出 \(a = (n+K)/2\)，\(b = (n-K)/2\)，要求 \(n > K\) 且 \(n-K\) 为偶数。

2. 算法选择：

   • 递归模拟：直接按照分裂规则递归计算，每个群体要么分裂为两个继续递归，要么计数为 \(1\)
   • 数学判定：分裂条件为 \((n-K) \% 2 = 0\) 且 \(n > K\)，此时 \(a = (n+K)/2\)，\(b = (n-K)/2\)

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(N, K\)
   • 递归函数 calc(n, k)：
     • 若 \((n-K) \% 2 = 0\) 且 \(n > K\)：可分裂
       • \(a = (n+K)/2\)，\(b = (n-K)/2\)
       • 返回 calc(a, k) + calc(b, k)
     • 否则：不可分裂，返回 \(1\)
   • 输出 calc(N, K)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log N)\)，每次分裂规模大致减半
   • 空间复杂度：\(O(\log N)\)，递归栈深度

5. 递归分治的核心思想：

   • 分裂方程求解：由 \(a + b = n\) 和 \(a - b = K\) 联立得 \(a = (n+K)/2\)，\(b = (n-K)/2\)。要求 \(a, b\) 为正整数，即 \(n > K\) 且 \(n-K\) 为偶数
   • 二叉树式分裂：每次分裂形成两个子问题，递归求解后累加叶子节点数（不可再分的群体数）
   • 终止条件：当群体大小无法表示为两个相差 \(K\) 的正整数之和时，该群体成为叶子节点
   • 适用于"规则递归分裂 + 计数叶子节点"类问题，核心是正确表达分裂条件和终止条件

【解题思路】

【算法标签】

入门 #递归

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k, ans;
int calc(int n, int k)  // 定义递归函数
{
    int a, b, ans=0;  // 定义局部变量a和b，以及群数，初始为0
    if ((n-k)%2==0 && n>k) {  // 如果b为整数（则a也是整数），且当前这个数n大于k（即可分裂）
        a = (n+k)/2;  // 计算分裂a、b两组的值
        b = (n-k)/2;
        ans += calc(a, k);  // 使用a和k继续递归查找，从最后一层逐级加上ans的值，即有多少无法分裂的数，就加多少个1
        ans += calc(b, k);  // 使用b和k继续递归查找
    } else {  // 无法再按分裂方式分裂
        ans = 1;  // 则群数为1
    }
    return ans;  // 返回这个群数
}
int main()
{
    cin >> n >> k;  // 输入n和k
    ans = calc(n, k);  // 使用递归方式计算
    cout << ans << endl;  // 打印群数
    return 0;
}

【运行结果】

6 2
3