题解：洛谷 P2902 Pearl Pairing

【题目来源】

洛谷：P2902 [USACO08MAR] Pearl Pairing G - 洛谷

【题目描述】

在 Bessie 最近的生日聚会上，她收到 \(N(2\le N \le 10^5,N\equiv0\pmod{2})\) 颗珍珠。一共有 \(C\) 种颜色的珍珠（\(1\le C \le N\)），第 \(i\) 种颜色的珍珠有 \(C_i\) 颗。

观察到珍珠的数量 \(N\) 总是偶数，她的创意来了，决定配对珍珠，使每对珍珠有两种不同的颜色。数据保证存在答案。请帮助 Bessie 执行这样的配对，如果有多种配对的方法，输出任意一种即可。

【输入】

第 \(1\) 行：两个空格分隔的整数：\(N\) 和 \(C\)。

第 \(2\ldots C+1\)行：第 \(i+1\) 为颜色 \(i\) 的珍珠数 \(C_i\)。

【输出】

第 \(1\ldots \dfrac{N}{2}\) 行：第 \(i\) 行包含两个整数 \(a_i\) 和 \(b_i\)，表示 Bessie 可以将各自颜色为 \(a_i\) 和 \(b_i\) 的两个珍珠配对。

【输入样例】

8 3
2
2
4

【输出样例】

1 3
1 3
2 3
3 2

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 颗珍珠（\(N\) 为偶数），共 \(C\) 种颜色，第 \(i\) 种颜色有 \(C_i\) 颗。要求将珍珠两两配对，每对珍珠颜色不同。数据保证有解。这是一个贪心构造问题，关键在于发现将同色珍珠均匀分散后，按位置配对即可保证每对不同色。

2. 算法选择：

   • 均匀分散 + 位置配对：将每种颜色的珍珠按顺序放入数组，然后让第 \(i\) 颗与第 \(i + N/2\) 颗配对
   • 鸽巢原理保证：由于最多颜色的珍珠数不超过 \(N/2\)（否则无法配对），任何颜色在数组前半段和后半段都不会完全占据同一半，从而保证配对时颜色不同

3. 关键步骤：

   • 读取输入：\(N, C\) 和每种颜色的数量 \(C_i\)
   • 构建数组：将 \(C_i\) 颗颜色为 \(i\) 的珍珠依次放入数组 \(a[1..N]\)
   • 配对输出（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N/2\)）：
     • 输出 \(a[i]\) 和 \(a[i + N/2]\) 作为一对

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N)\)，构建数组和输出配对各 \(O(N)\)
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储珍珠颜色数组

5. 贪心配对的核心思想：

   • 均匀分散策略：将同色珍珠连续放置，由于数量最多的颜色不超过 \(N/2\)，该颜色最多占据前半段或后半段的一半，不会在同一配对位置出现同色
   • 对折配对：第 \(i\) 与第 \(i + N/2\) 配对，相当于将数组对折，两半中同一位置的珍珠配对。由于同色珍珠连续且长度 \(\le N/2\)，对折后不会相遇
   • 存在性保证：题目保证有解，意味着 \(\max(C_i) \le N/2\)，这是上述策略可行的充要条件
   • 适用于"均匀分组 + 避免同色相邻/配对"类问题，核心是利用鸽巢原理保证构造可行性

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005 * 2;
int n, c, cur;  // n: 总人数, c: 班级数, cur: 当前数组指针
int a[N];  // 学生数组

int main()
{
    cin >> n >> c;  // 输入总人数和班级数
    for (int i = 1; i <= c; i++)  // 处理每个班级
    {
        int x;
        cin >> x;  // 输入班级i的人数
        for (int j = 1; j <= x; j++)  // 将班级i的学生加入数组
        {
            a[++cur] = i;  // 用班级编号标记学生
        }
    }

    // 输出配对结果
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++)  // 配对n/2对
    {
        cout << a[i] << " " << a[i + n / 2] << endl;  // 输出一对学生
    }
    return 0;
}

【运行结果】

8 3
2
2
4
1 3
1 3
2 3
2 3