题解：洛谷 P2879 Tallest Cow

【题目来源】

洛谷：P2879 [USACO07JAN] Tallest Cow S - 洛谷

【题目描述】

FJ 的 \(N\) 头奶牛（\(1 \le N \le 10,000\)）按编号 \(1\) 到 \(N\) 排成一行。每头奶牛有一个正整数表示的身高（这是个秘密）。现在你只知道最高奶牛的身高 \(H\)（\(1 \le H \le 1,000,000\)），以及它的编号 \(I\)。

FJ 提供了 \(R\) 条信息（\(0 \le R \le 10,000\)），每条信息形如“奶牛 17 能看到奶牛 34”。这意味着奶牛 34 的身高不小于奶牛 17 的身高，并且编号在 17 和 34 之间的所有奶牛，其身高都严格小于奶牛 17 的身高。

现在请你计算出对于每一头奶牛（编号从 \(1\) 到 \(N\)），在所有给定信息都成立的前提下，它可能具有的最大身高。

题目保证一定存在满足条件的解。

【输入】

第 \(1\) 行：四个用空格分隔的整数：\(N\)，\(I\)，\(H\) 和 \(R\)。

第 \(2\) 到第 \(R+1\) 行：每行两个不同的整数 \(A\) 和 \(B\)（\(1 \le A\), \(B \le N\)），表示奶牛 \(A\) 能看到奶牛 \(B\)。

【输出】

共 \(N\) 行，第 \(i\) 行输出奶牛 \(i\) 的最大可能身高。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 头奶牛排成一行，已知最高奶牛编号 \(I\) 身高 \(H\)，以及 \(R\) 条"能看到"信息。若 \(A\) 能看到 \(B\)，则 \(height[B] \ge height[A]\)，且 \(A\) 与 \(B\) 之间的所有奶牛身高严格小于 \(height[A]\)。求每头奶牛的最大可能身高。这是一个差分数组 + 区间约束问题，关键在于将"能看到"关系转化为区间高度限制，用差分数组高效处理。
算法选择：
- 差分数组：每条"能看到"信息意味着 \((A, B)\) 开区间内的所有奶牛身高至少比两端低 \(1\)，用差分标记区间减 \(1\)
- 去重处理：用 set 存储已处理的区间，避免重复信息导致过度递减
- 前缀和还原：差分数组前缀和得到每头奶牛相对于基准的累计高度调整
关键步骤：
- 读取输入：\(N, I, H, R\) 和 \(R\) 条信息 \((A, B)\)
- 处理每条信息：
  - 确保 \(A < B\)（排序）
  - 若 \((A, B)\) 已在 set 中：跳过（去重）
  - 否则：\(dif[A+1] \mathrel{-}= 1\)，\(dif[B] \mathrel{+}= 1\)（区间 \((A, B)\) 内所有奶牛高度减 \(1\)）
- 前缀和还原（\(i\) 从 \(2\) 到 \(N\)）：\(dif[i] \mathrel{+}= dif[i-1]\)
- 输出：每头奶牛身高 = \(H + dif[i]\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(R \log R + N)\)，set 去重 \(O(R \log R)\)，前缀和与输出 \(O(N)\)
- 空间复杂度：\(O(N + R)\)，差分数组和去重集合
差分区间约束的核心思想：
- "能看到"的约束转化：\(A\) 能看到 \(B\) 意味着 \((A, B)\) 内的奶牛是"视野遮挡物"，它们必须比 \(A\) 矮，即这些奶牛的身高上限被降低
- 最大化身高策略：在不影响约束的前提下，让每头奶牛尽可能高。由于 \(I\) 是最高的，其他奶牛的身高由约束决定其最大可能值
- 差分高效区间操作：将 \(R\) 个区间减 \(1\) 操作转化为 \(2R\) 个单点更新，前缀和一次性还原
- 去重必要性：同一区间被多次提及不应重复约束，否则会导致高度过度降低
- 适用于"区间约束 + 最大化目标值"类问题，核心是将约束转化为差分标记并去重

【算法标签】

普及 #差分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int N;      // 牛的数量
int I;      // 初始高度
int H;      // 基准高度
int R;      // 观察次数
int dif[10005];  // 差分数组，记录高度变化
set<pair<int, int> > s;  // 用于去重的集合，存储已处理的区间

int main()
{
    // 输入牛的数量、初始高度、基准高度和观察次数
    cin >> N >> I >> H >> R;

    // 处理每个观察记录
    for (int i = 1; i <= R; i++)
    {
        int A, B;  // 观察到的两头牛的编号
        cin >> A >> B;

        // 确保A是较小的编号，B是较大的编号
        if (A > B)
        {
            swap(A, B);
        }

        // 检查是否已处理过相同的区间（去重）
        if (s.count({A, B}) != 0)
        {
            continue;  // 跳过重复的观察记录
        }

        // 将区间加入集合，标记为已处理
        s.insert({A, B});

        // 差分数组操作：A+1到B-1区间的牛高度减1
        dif[A + 1]--;  // 从A+1位置开始高度减少
        dif[B]++;      // 到B位置结束高度减少
    }

    // 计算前缀和，将差分数组转换为实际高度变化
    for (int i = 2; i <= N; i++)
    {
        dif[i] += dif[i - 1];
    }

    // 输出每头牛的最终高度
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        cout << H + dif[i] << endl;
    }

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-28 15:55 团爸讲算法阅读(3) 评论(0) 收藏举报

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普及 #差分

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