题解：洛谷 P2873 Mud Puddles

【题目来源】

洛谷：P2873 [USACO07DEC] Mud Puddles S - 洛谷

【题目描述】

农夫约翰在早上 \(6\) 点准时离开家去挤奶贝茜。然而，前一天晚上下了大雨，田地里非常泥泞。约翰从坐标平面上的点 \((0,0)\) 出发，前往位于 \((X,Y)\) 的贝茜（\(-500\le X\le 500\)；\(-500\le Y\le 500\)）。他可以看到田地上所有 \(N(1\le N\le 10,000)\) 个泥坑，位于点 \((A_i,B_i)\)（\(-500\le A_i\le 500\)；\(-500\le B_i\le 500\)）。每个泥坑只占据它所在的点。

刚买了新靴子的农夫约翰绝对不想弄脏他的靴子，但他也想尽快到达贝茜。他已经迟到了，因为他不得不数清所有的泥坑。如果农夫约翰只能平行于坐标轴行走，并且只能在整数坐标点处转弯，那么他到达贝茜并保持靴子干净的最短距离是多少？总会有一条没有泥的路径可以让农夫约翰到达贝茜。

【输入】

第 \(1\) 行：三个用空格分隔的整数：\(X,Y,N\)。
第 \(2\) 行到第 \(N+1\) 行：第 \(i+1\) 行包含两个用空格分隔的整数：\(A_i\) 和 \(B_i\)。

【输出】

第 \(1\) 行：农夫约翰到达贝茜而不踩到泥的最短距离。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定起点 \((0,0)\)、终点 \((X,Y)\) 和 \(N\) 个泥坑坐标，FJ 只能沿坐标轴方向在整数点移动，不能踩泥坑。求到达终点的最短距离。这是一个BFS最短路/网格避障问题，关键在于将坐标偏移处理（避免负数下标），用BFS在无障碍网格上求最短路。
算法选择：
- BFS（广度优先搜索）：四方向移动，边权均为 \(1\)，BFS天然适合求无权图最短路
- 坐标偏移：所有坐标加 \(500\)，将 \([-500, 500]\) 映射到 \([0, 1000]\)，避免负数数组下标
- 边界剪枝：根据泥坑和起终点的坐标范围，限制BFS搜索边界，避免无限扩展
关键步骤：
- 读取输入：\(X, Y, N\) 和 \(N\) 个泥坑坐标 \((A_i, B_i)\)
- 坐标偏移与标记：所有坐标加 \(500\)，泥坑位置 \(a[A_i+500][B_i+500] = 1\)
- 确定搜索边界：
  - \(minx = \min(\text{所有泥坑}x, 500)\)，\(maxx = \max(\text{所有泥坑}x, 500)\)
  - \(miny = \min(\text{所有泥坑}y, 500)\)，\(maxy = \max(\text{所有泥坑}y, 500)\)
  - 搜索范围扩展 \(1\) 格边界：\([minx-1, maxx+1] \times [miny-1, maxy+1]\)
- BFS过程：
  - 起点 \((500, 500)\) 入队，步数 \(step = 0\)
  - 取出队首，四方向扩展：
    - 若越界：跳过
    - 若到达终点 \((X+500, Y+500)\)：输出 \(step + 1\) 并结束
    - 若不是泥坑且未访问：标记访问，入队
- 输出答案
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O((\text{搜索范围宽度}) \times (\text{搜索范围高度}))\)，最坏 \(O(1002 \times 1002)\)
- 空间复杂度：\(O(1005 \times 1005)\)，访问标记和泥坑标记数组
BFS网格最短路的核忈思想：
- 坐标偏移处理负数：通过统一加偏移量，将可能为负的坐标映射到非负数组下标
- 层序扩展保证最优：BFS按步数分层，首次到达终点时即为最短路径（曼哈顿距离意义下）
- 边界限制优化：根据输入数据的实际范围确定搜索边界，避免向无穷远处扩展
- 适用于"网格避障最短路径"类问题，核心是正确处理坐标和边界

【解题思路】

【算法标签】

普及- #BFS-二维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, sx, sy, minx=1e9, miny=1e9, maxx=-1e9, maxy=-1e9, dx[4]={-1,1,0,0}, dy[4]={0,0,-1,1}, tx, ty, tstep;
int a[1005][1005]={0}, vis[1005][1005]={0};
struct node {
    int x, y, step, visit;
};
int main()
{
    cin >> sx >> sy >> n;  // 输入结束坐标及n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n个泥塘坐标
        int tmp1, tmp2;
        cin >> tmp1 >> tmp2;  // 输入坐标
        minx = min(minx, tmp1+500);  // 计算x坐标最小值
        maxx = max(maxx, tmp1+500);  // 计算x坐标最大值
        miny = min(miny, tmp2+500);  // 计算y坐标最小值
        maxy = max(maxy, tmp2+500);  // 计算y坐标最大值
        a[tmp1+500][tmp2+500]=1;  // 因为存在负数，x和y均加上500，对于泥塘的坐标，a数组置为1
    }
    minx = min(minx, 500);  // 再与(0,0)（即(500,500））进行比较
    maxx = max(maxx, 500);
    miny = min(miny, 500);
    maxy = max(maxy, 500);
    queue<node> q;  // 定义队列
    node tp = {500, 500, 0};  // 队头数据
    q.push(tp);  // 压入队列
    while (!q.empty()) {  // bfs模板
        tp = q.front();
        q.pop();
        for (int i=0; i<4; i++) {  // 进行上下左右位置移动
            tx = tp.x + dx[i];
            ty = tp.y + dy[i];
            tstep = tp.step+1;  // 每移动一个格子，step加1
            if (tx<minx-1||tx>maxx+1||ty<miny-1||ty>maxy+1) continue;  // 当移动后的坐标越界时，继续循环
            if (tx==sx+500 && ty==sy+500) {  // 当遇到终点时，打印step，退出循环
                cout << tstep << endl;
                return 0;
            }
            if (a[tx][ty]==0 && vis[tx][ty]==0) {  // 将要移动的坐标不是泥塘，且没有访问过
                vis[tx][ty]=1;  // 更新vis数组
                node t = {tx, ty, tstep};  // 初始化t节点
                q.push(t);  // 将其压入队列中
            }
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-28 15:55 团爸讲算法阅读(2) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P2873 Mud Puddles

普及- #BFS-二维

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