题解：洛谷 P1694 The Great Revegetation

【题目来源】

洛谷：P1694 [USACO19FEB] The Great Revegetation B - 洛谷

【题目描述】

长时间的干旱使得 Farmer John 的 \(N\) 块草地上牧草匮乏。随着雨季即将到来，现在应当是重新种植的时候了。

在 Farmer John 的储物棚里有四个桶，每个桶里装着一种不同的草种。他想要在每块草地上播种其中一种草。作为一名奶农，Farmer John 想要确保他的每头奶牛都能得到丰富的食谱。他的 \(M\) 头奶牛每一头都有两块喜爱的草地，他想要确保这两块草地种植不同种类的草，从而每头奶牛都可以有两种草可供选择。Farmer John 知道没有一块草地受到多于 \(3\) 头奶牛的喜爱。

请帮助 Farmer John 选择每块草地所种的草的种类，使得所有奶牛的营养需求都得到满足。

【输入】

输入的第一行包含 \(2 \leq N \leq 100\) 和 \(1 \leq M \leq 150\)。以下 \(M\) 行，每行包含两个范围为 \(1 \dots N\) 的整数，为 Farmer John 的一头奶牛喜欢的两块草地。

【输出】

输出一个 \(N\) 位数，每一位均为 \(1\ldots 4\) 之一，表示每一块草地上所种的草的种类。第一位对应草地 \(1\) 的草的种类，第二位对应草地 \(2\)，以此类推。如果有多种可行的解，只需输出所有解中最小的 \(N\) 位数。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 块草地和 \(M\) 头奶牛，每头奶牛喜欢两块草地，要求这两块草地种植不同草种。有 \(4\) 种草种可选，每块草地最多被 \(3\) 头奶牛喜欢。求字典序最小的合法种植方案。这是一个图着色/贪心构造问题，关键在于利用"每块草地最多 \(3\) 条关联边"的性质，保证贪心时总能找到可用颜色。
算法选择：
- 贪心着色：按草地编号 \(1\) 到 \(N\) 顺序，为每块草地选择最小的可用颜色（\(1\) 到 \(4\)）
- 邻接矩阵存储：\(a1[i][j] = 1\) 表示草地 \(i\) 和 \(j\) 被同一头奶牛喜欢（不能同色）
关键步骤：
- 读取输入：\(N, M\) 和 \(M\) 对草地 \((a, b)\)
- 建图：无向边，\(a1[a][b] = a1[b][a] = 1\)
- 贪心着色（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
  - 尝试颜色 \(k\) 从 \(1\) 到 \(4\)：
    - 检查所有邻接点 \(j\)：若 \(a1[i][j] = 1\) 且 \(G[j] = k\)，则颜色 \(k\) 冲突
    - 若不存在冲突，选择 \(k\) 并跳出
  - \(G[i] = k\)
- 输出：按顺序输出 \(G[1]\) 到 \(G[N]\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N \cdot (4 \cdot N + M)) = O(N^2)\)，对每个点尝试 \(4\) 种颜色，每种检查 \(N\) 个邻接点
- 空间复杂度：\(O(N^2)\)，邻接矩阵
贪心图着色的核心思想：
- 四色定理的弱化应用：题目保证每点度数 \(\le 3\)，而可用颜色为 \(4\) 种，因此每个点最多有 \(3\) 个邻接点占用不同颜色，至少剩余 \(1\) 种颜色可用，贪心必然成功
- 字典序最小保证：按编号顺序处理，每次选择最小可用颜色，天然保证最终方案是字典序最小的 \(N\) 位数
- 邻接矩阵简化：\(N \le 100\)，邻接矩阵的 \(O(N^2)\) 空间可接受，且实现简单
- 适用于"低度图着色 + 字典序最小解"类问题，核心是利用度数限制保证贪心可行性

【解题思路】

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

// 尝试用过贪心算法，后发现只有3个测试点通过，其余均超时
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a1[105][105], G[105];
int n, m;
// ifstream filein("revegetate.in");
// ofstream fileout("revegetate.out");
int main()
{
    cin >> n >> m;  // 输入n和m

    for (int i=1; i<=m; i++) {  // 遍历m条边
        int a, b;
        cin >> a >> b;  // 输入边的端点
        a1[a][b] = 1;  // 因为是无向图，所以边的两个方向均置为1
        a1[b][a] = 1;
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n个顶点
        int k;  // 定义颜色（没放到循环中是因为后面要通过G[i]来赋值）
        for (k=1; k<=4; k++) {  // 遍历4个颜色
            bool ok=true;  // 定义ok，用于判断边的两个端点颜色是否冲突
            for (int j=1; j<=n; j++) {  // 再遍历n个顶点
                if (a1[i][j]==1 && G[j]==k) {  // 如果i和j是一条边上的两个顶点，且j这个点的颜色为k（即已经有颜色了）
                    ok =false;  // 修改ok为false
                }
            }
            if (ok) break;  // 没有一条边上的两个顶点颜色冲突，则退出循环，即颜色留在当前k上
        }
        G[i] = k;  // 将这个k赋值给G[i]
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n个顶点
        cout << G[i];  // 将每个顶点的颜色打印出来，中间不空格
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-28 15:54 团爸讲算法阅读(3) 评论(0) 收藏举报

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普及 #贪心

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