题解：洛谷 P10187 Palindrome Game

【题目来源】

洛谷：P10187 [USACO24FEB] Palindrome Game B - 洛谷

【题目描述】

贝西和埃尔西正在用一堆最初包含 \(S\) 个石头的石头玩游戏\((1\le S\le 10^{10^5})\)。他们俩只奶牛轮流进行游戏，贝西先开始。当轮到一头奶牛的时候，她必须从堆中移走 \(x\) 个石头，其中\(x\)是她选择的任何正回文整数。如果一头奶牛开始拿石头时堆为空，那么这头奶牛就输了。

定义：一个正整数是回文数，如果它正着读和倒着读都是一样的；回文数的例子包括 \(11\)、\(121\) 和\(9009\)。不允许前导零；例如，\(990\)不是回文数。

有\((1\le T\le 10)\)个独立的测试用例。对于每个测试用例，如果两头奶牛都以最优策略玩游戏，输出谁赢了游戏。

【输入】

第一行包含T，即测试用例的数量。接下来的 \(T\) 行描述了测试用例，每个测试用例占一行。

每个测试用例由一个单独的整数\(S\)指定。

【输出】

对于每个测试用例，如果贝西在最优策略下从大小为 \(S\) 的石头堆开始玩游戏并获胜，则输出 \(B\)；否则，输出 \(E\)。

【输入样例】

3
8
10
12

【输出样例】

B
E
B

【核心思想】

1. 问题分析：给定一个非常大的整数 \(S\)（位数可达 \(10^5\)），两名玩家轮流从石子堆中取走一个正整数回文数个石子，取走最后一个石子（即面对空堆的玩家输）的玩家获胜。Bessie 先手。判断 Bessie 在最优策略下能否获胜。关键观察：这是一个非平凡取石子游戏，但存在简单的必胜/必败判定——根据 \(S\) 的个位数是否为 0。因为若 \(S\) 的个位非零，Bessie 可以取走 \(S\) 的个位数（它是一个一位回文数），使堆的大小变为一个以 0 结尾的数；而面对个位为 0 的堆，无论当前玩家取走多少，剩余个位不可能为 0（因为回文数减 0 结尾的数，结果个位可能为 0 或非 0），但存在一条策略使对手始终面对个位为 0 的情况，最终导致对手失败。更简洁的结论：如果 \(S\) 的个位是 0，则先手必败；否则先手必胜。

2. 算法选择：

   • 数学规律 + 字符串判定：由于 \(S\) 可以非常大（\(10^{10^5}\)），不能转换为整数。只需读取为字符串，检查最后一个字符是否为 '0'。若是，输出 E（Elsie 赢，即后手赢），否则输出 B（Bessie 赢）。

3. 关键步骤：

   • 读入：读入测试用例数 \(T\)。
   • 对每个用例：读入字符串 \(s\)（表示 \(S\)）。
   • 判定：若 \(s\) 的最后一个字符等于 '0'，则输出 "E"；否则输出 "B"。

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\sum |S|)\)，每个字符串仅检查最后一个字符。
   • 空间复杂度：\(O(1)\) 额外空间（存储字符串）。

5. 数学规律 + 字符串判定的核心思想：

   • 博弈结论：该游戏的胜负完全取决于 \(S\) 是否为 10 的倍数。证明思路：
     • 若 \(S\) 的个位非零，Bessie 可取走 \(d = S \bmod 10\)（一位回文数），使新堆大小为 \(S - d\)，其个位为 0。
     • 若当前堆 \(S\) 的个位为 0，无论玩家取走一个回文数 \(x\)（\(x\) 的个位可以是 1-9 或 0），剩余 \(S - x\) 的个位不可能为 0（除非 \(x\) 个位为0，但回文数不可能以0结尾，因为不允许前导零）。因此，对手总是面对个位非零的堆，进而可以重复上述策略，最终迫使对方面对空堆（0 也以 0 结尾）而输。因此以 0 结尾的堆是必败态。
   • 适用场景：适用于超大整数输入、且结论仅与最后一位数字相关的博弈问题。核心是发现整数末位的决定性作用，避免大数运算。

【解题思路】

【算法标签】

普及- #字符串入门

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
string s;
int main()
{
    cin >> t;  // t组数据
    while (t--) {
        cin >> s;  // 以字符串形式输入
        if (s[s.size()-1]=='0') cout << "E" << endl;  // 如果最后一位为0，则埃尔西赢
        else cout << "B" << endl;  // 否则一定贝西赢
    }
    return 0;
}

【运行结果】

3
8
B
10
E
12
B