题解：洛谷 P10132 Cannonball

【题目来源】

洛谷：P10132 [USACO24JAN] Cannonball B - 洛谷

【题目描述】

Bessie 已经精通了变成炮弹并沿着长度为 \(N\)（\(1\le N\le 10^5\)）的数轴弹跳的艺术，数轴上的位置从左到右编号为 \(1,2,\cdots,N\)。她从某个整数位置 \(S\)（\(1\le S\le N\)）开始，以 \(1\) 的起始能量向右弹跳。如果 Bessie 的能量为 \(k\)，则她将弹跳至距当前位置向前距离 \(k\) 处进行下一次弹跳。

从 \(1\) 到 \(N\) 的每个整数位置上均有炮击目标或跳板。每个炮击目标和跳板都有一个在 \(0\) 到 \(N\) 范围内的整数值。一个数值为 \(v\) 的跳板会使 Bessie 的能量增加 \(v\) 并反转她的方向。一个数值为 \(v\) 的炮击目标会当着陆时能量不小于 \(v\) 时被击破。着陆在炮击目标上不会改变 Bessie 的能量和方向。被击破的炮击目标将保持击破状态，Bessie 依然可以该炮击目标上弹跳，同样不会改变能量和方向。

如果 Bessie 弹跳无限长的时间或直到她离开数轴，她会击破多少个炮击目标？

如果 Bessie 开始时位于一个她可以击破的炮击目标，她会立刻这样做。类似地，如果 Bessie 开始时位于一个跳板，跳板的效果将在她第一次跳跃之前生效。

【输入】

输入的第一行包含 \(N\) 和 \(S\)，其中 \(N\) 为数轴的长度，\(S\) 为 Bessie 的起始位置。

以下 \(N\) 行描述了每一个位置。其中第 \(i\) 行包含整数 \(q_i\) 和 \(v_i\)，如果位置 \(i\) 上有一个跳板则 \(q_i=0\)，位置 \(i\) 上有一个炮击目标则 \(q_i=1\)，\(v_i\) 是位置 \(i\) 上的跳板或炮击目标的数值。

【输出】

输出一个整数，为将被击破的炮击目标数量。

【输入样例】

5 2
0 1
1 1
1 2
0 1
1 1

【输出样例】

1

【核心思想】

  1. 问题分析：Bessie 在一条长为 \(N\) 的数轴上弹跳，起始位置 \(S\)，初始能量为 \(1\)，方向向右。每个位置要么是跳板（\(q_i=0\)，数值 \(v_i\)），要么是炮击目标（\(q_i=1\)，阈值 \(v_i\)）。Bessie 每次以当前能量 \(k\) 向前跳 \(k\) 格，若落在跳板上，则能量增加 \(v_i\) 并反转方向；若落在炮击目标上，若当前能量 \(\ge v_i\) 则击破它（击破后仍可停留，但不再改变状态）。求她能击破的炮击目标总数。由于能量和方向会不断变化，可能进入无限循环或最终离开数轴。核心是模拟弹跳过程并检测循环。

  2. 算法选择：

    • 模拟 + 循环检测：按规则逐步模拟 Bessie 的跳跃。关键优化是检测跳板状态的重复——因为只有跳板会改变能量和方向，而炮击目标不会改变状态。若 Bessie 以相同的能量和方向再次到达同一个跳板，则后续轨迹将完全重复，进入无限循环，此时应停止模拟（不会再击破新的目标）。代码中用 vis 和 lastpower 记录每个跳板是否被访问过以及当时的力量值，若重复则跳出。
    • 炮击目标处理：着陆在炮击目标上时，若能量足够则击破（计数并标记为已破，将阈值设为大数），但无论是否击破，Bessie 的能量和方向均不变，继续下一次跳跃。

  3. 关键步骤：

    • 读入：读取 \(N, S\)，以及每个位置的类型 type 和数值 val。
    • 初始化：Bessie 状态 pos = S，power = 1，dir = 1（向右）。cnt = 0（击破数），tot 为炮击目标总数（可提前统计，用于提前终止）。
    • 模拟循环：当 pos 在 \([1, N]\) 内且 cnt < tot 时：
      • 若当前位置是炮击目标：
        • 若 power >= val 且尚未击破（val 未被设为大数），则 cnt++，并将 val 设为 INF（标记已破）。
        • 位置、能量、方向不变。
      • 若当前位置是跳板：
        • 循环检测：若该跳板已被访问过且记录的 lastpower == power，则说明进入重复状态，跳出循环。
        • 否则，记录 vis = 1，lastpower = power。
        • 方向反转：dir = -dir。
        • 能量增加：power += val。
      • 计算下一步位置：pos += dir * power。
    • 输出：cnt。

  4. 时间/空间复杂度：

    • 时间复杂度：\(O(N + \text{跳跃次数})\)。由于每个跳板状态（方向+能量）最多被有效访问一次（重复即终止），跳跃次数受限于状态数，实际可行。
    • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储每个位置的类型、数值和跳板的访问记录。

  5. 模拟 + 循环检测的核心思想：

    • 状态关键点：Bessie 的状态变化只发生在跳板上，炮击目标不会改变状态。因此，跳板是决定轨迹是否重复的关键节点。
    • 重复判定：如果 Bessie 以完全相同的能量和方向再次到达同一个跳板，那么之后的所有跳跃都将与之前相同，进入无限循环，且不会再击破新的炮击目标。及时检测并退出可避免无限循环。
    • 炮击目标只影响计数：炮击目标被击破后，只是标记为“已破”，不影响 Bessie 的物理状态，所以无需特殊处理（除了防止重复计数）。
    • 适用场景：适用于“状态转移由特定节点（跳板）改变，其他节点不影响状态”的模拟问题。核心是通过记忆关键节点的状态组合来检测环。

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;                  // 房间数量
int s;                  // 起始房间编号
int cnt;                // 已击败的敌人数量
int tot;                // 敌人总数
int step;               // 移动步数（用于调试或限制循环次数）

// 房间结构体
struct node
{
    int type;           // 房间类型：0=弹簧，1=敌人
    int weight;         // 房间数值：弹簧的弹力值/敌人的生命值
    int vis;            // 标记弹簧是否被访问过
    int lastpower;      // 上次访问弹簧时的力量值
} p[100005];

// 人物结构体
struct Person
{
    int dir;            // 移动方向：1=向右，-1=向左
    int power;          // 当前力量值
    int pos;            // 当前位置（房间编号）
};

int main()
{
    // 输入房间数量和起始位置
    cin >> n >> s;

    // 输入每个房间的信息
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> p[i].type >> p[i].weight;
        if (p[i].type == 1)
        {
            tot++;      // 统计敌人总数
        }
    }

    // 初始化贝西的状态
    Person bessie = {1, 1, s};  // 初始方向向右，力量为1，位置为s
    int flag = 0;               // 标志变量（未使用）

    // 主循环：贝西在房间之间移动
    while (bessie.pos >= 1 && bessie.pos <= n)
    {
        // 调试用的步数限制（注释掉的代码）
        // if (step > n - 1) break;

        // 如果已击败所有敌人，退出循环
        if (tot == cnt)
        {
            // flag = 1;
            break;
        }

        // 调试输出（注释掉的代码）
        // cout << "pos " << bessie.pos << endl;
        // cout << "power " << bessie.power << endl;

        // 处理敌人房间（type=1）
        if (p[bessie.pos].type == 1)
        {
            // 调试输出（注释掉的代码）
            // cout << "1 power " << bessie.power << endl;

            // 如果力量足够击败敌人
            if (bessie.power >= p[bessie.pos].weight)
            {
                cnt++;                          // 击败敌人计数加1
                p[bessie.pos].weight = 1e9;     // 将敌人生命值设为极大值（标记为已击败）
            }
        }

        // 处理弹簧房间（type=0）
        if (p[bessie.pos].type == 0)
        {
            // 调试输出（注释掉的代码）
            // cout << "0 power " << bessie.power << endl;

            // 检测循环：如果弹簧已被访问过且力量值相同，说明进入死循环
            if (p[bessie.pos].vis == 1 && bessie.power == p[bessie.pos].lastpower)
            {
                break;  // 退出循环避免无限循环
            }

            // 改变移动方向
            bessie.dir = bessie.dir * -1;

            // 标记弹簧已被访问，记录当前力量值
            p[bessie.pos].vis = 1;
            p[bessie.pos].lastpower = bessie.power;

            // 增加力量值（弹簧效果）
            bessie.power = bessie.power + p[bessie.pos].weight;
        }

        // 移动到下一个位置
        bessie.pos = bessie.pos + (bessie.dir * bessie.power);
        step++;  // 步数计数（用于调试或循环控制）
    }

    // 输出击败的敌人数量
    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

5 2
0 1
1 1
1 2
0 1
1 1
posted @ 2026-08-28 15:53  团爸讲算法  阅读(1)  评论(0)    收藏  举报