题解：洛谷 P1672 Feed Accounting

【题目来源】

洛谷：P1672 [USACO05FEB] Feed Accounting S - 洛谷

【题目描述】

约翰想知道上一船饲料是什么时候运到的。在饲料运到之前，他的牛正好把仓库里原来的饲料全吃光了。他收到运来的 \(F1(1\le F1\le 10^6)\) 千克饲料。遗憾的是，他已经不记得这是哪一天的事情了。到第 \(D(1\le D\le 2\times 10^3)\) 天为止，仓库里还剩下 \(F2(1\le F2\le F1)\) 千克饲料。

约翰养了 \(C(1\le C\le 100)\) 头牛，每头牛每天都吃掉恰好 \(1\) 千克饲料。由于不同的原因，牛们从某一天开始在仓库吃饲料，又在某一天离开仓库，所以不同的两天可能会有差距很大的饲料消耗量。每头牛在来的那天和离开的那天都在仓库吃饲料。给出今天的日期 \(D\)，写一个程序，判断饲料最近一次运到是在什么时候。今天牛们已经吃过饲料了，并且饲料运到的那天牛们还没有吃过饲料。

如果最终的答案有多个可能，请输出最大的（即，最近的）那一个。

【输入】

第 \(1\) 行：四个整数 \(C\)，\(F1\)，\(F2\)，\(D\)，用空格隔开。

第 \(2\) 到 \(C+1\) 行：每行是用空格隔开的两个数字，分别表示一头牛来仓库吃饲料的时间和离开的时间。

【输出】

一个正整数，即上一船饲料运到的时间。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(C\) 头牛在仓库的进食时间段、初始饲料量 \(F1\)、第 \(D\) 天剩余量 \(F2\)，求饲料最近一次运到的日期。运到当天牛尚未进食，之后每天牛按时间段吃饲料。这是一个差分数组 + 前缀和 + 逆向扫描问题，关键在于用差分统计每天的牛数量，从后往前累加找到恰好消耗 \(F1 - F2\) 饲料的那一天。
算法选择：
- 差分数组：将每头牛的进食区间 \([l, r]\) 转化为 \(a[l] \mathrel{+}= 1\)、\(a[r+1] \mathrel{-}= 1\)，实现 \(O(1)\) 区间标记
- 前缀和还原：\(b[i] = b[i-1] + a[i]\)，得到每天实际在仓库吃饲料的牛数量
- 逆向扫描：从第 \(D\) 天往前累加每天的消耗量 \(b[i]\)，找到累计消耗等于 \(F1 - F2\) 的那天即为答案
关键步骤：
- 读取输入：\(C, F1, F2, D\) 和 \(C\) 条牛的区间 \([l_i, r_i]\)
- 差分标记：对于每头牛，\(a[l_i] \mathrel{+}= 1\)，\(a[r_i + 1] \mathrel{-}= 1\)
- 前缀和还原：\(b[i] = b[i-1] + a[i]\)（\(i\) 从 \(1\) 到 \(D\)），\(b[i]\) 表示第 \(i\) 天吃饲料的牛数
- 逆向扫描（\(i\) 从 \(D\) 递减到 \(1\)）：
  - \(sum \mathrel{+}= b[i]\)，累加从第 \(i\) 天到第 \(D\) 天的总消耗
  - 若 \(sum = F1 - F2\)：输出 \(i\) 并结束（要求最近日期，逆向首个满足条件的即为最大 \(i\)）
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(C + D)\)，差分标记 \(O(C)\)，前缀和 + 逆向扫描 \(O(D)\)
- 空间复杂度：\(O(D)\)，差分数组和前缀和数组
差分数组与前缀和的核心思想：
- 区间操作降维：差分数组将 \(C\) 个区间加法转化为 \(2C\) 个单点更新，前缀和一次性还原每日实际值
- 逆向贪心：从后往前扫描保证找到的是"最近"的运到日期（最大的满足条件的 \(i\)）
- 总量守恒：\(F1 - F2\) 即为从运到日到第 \(D\) 天的总消耗量，逆向累加找到恰好匹配点
- 适用于"区间覆盖统计 + 逆向查找匹配点"类问题，核心是差分高效处理区间和逆向扫描定位答案

【解题思路】

【算法标签】

普及 #差分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 定义常量
const int N = 2005;  // 最大天数范围

// 变量定义
int c;      // 喂养记录的条数
int f1;     // 第一天之前FJ喂养的数量
int f2;     // 第d天之后FJ喂养的数量
int d;      // 总天数
int a[N];   // 差分数组
int b[N];   // 前缀和数组，表示每天Bessie喂养的次数

int main()
{
    // 输入数据
    cin >> c >> f1 >> f2 >> d;

    // 处理每条喂养记录
    for (int i = 1; i <= c; i++)
    {
        int l, r;  // 每条记录的起始天和结束天
        cin >> l >> r;

        // 使用差分数组
        // 在l天开始增加一次喂养
        a[l]++;
        // 在r+1天减少一次喂养
        a[r + 1]--;
    }

    // 计算前缀和，得到每天Bessie喂养的次数
    for (int i = 1; i <= d; i++)
    {
        b[i] = b[i - 1] + a[i];
    }

    // 从第d天往前计算
    int sum = 0;  // 从第i天到第d天的总喂养次数
    for (int i = d; i >= 1; i--)
    {
        sum += b[i];  // 累加第i天的喂养次数

        // 检查条件：f1 - sum = f2
        // 即：sum = f1 - f2
        if (sum == f1 - f2)
        {
            cout << i << endl;  // 输出结果
            break;
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-27 11:07 团爸讲算法阅读(4) 评论(0) 收藏举报

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普及 #差分

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