题解：洛谷 AT_abc436_c 2x2 Placing

【题目来源】

洛谷：AT_abc436_c [ABC436C] 2x2 Placing - 洛谷

【题目描述】

有一个 \(N\) 行 \(N\) 列的网格。令 \((i,j)\) 表示从上到下第 \(i\) 行、从左到右第 \(j\) 列的格子。最初，网格上没有放置任何物品。

你将进行 \(M\) 次操作。第 \(i\) 次操作（\(1\leq i\leq M\)）如下：

• 如果以单元格 \((R_i,C_i)\) 为左上角的 \(2\times 2\) 区域上没有任何已放置的方块，就在该区域放置一个方块。更具体地说，对于 \(S=\lbrace (R_i,C_i),(R_i+1,C_i),(R_i,C_i+1),(R_i+1,C_i+1)\rbrace\)，如果这四个格子中有任意一个已经被其他方块占用，则不进行任何操作；否则，在 \(S\) 所有四个格子上放置一个方块。

请在所有操作结束后，求最终共放置了多少个方块。

【输入】

输入从标准输入读入，格式如下：

\(N\) \(M\)
\(R_1\) \(C_1\)
\(R_2\) \(C_2\)
\(\vdots\)
\(R_M\) \(C_M\)

【输出】

输出答案。

【输入样例】

4 3
1 1
2 2
2 3

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N \times N\) 的网格和 \(M\) 次操作，每次操作尝试在指定位置放置一个 \(2 \times 2\) 的方块。若该 \(2 \times 2\) 区域的 \(4\) 个格子均未被占用，则放置成功并标记这 \(4\) 个格子为已占用；否则跳过。求最终成功放置的方块数量。这是一个直接模拟/集合标记问题，关键在于高效判断 \(2 \times 2\) 区域是否可放置。

2. 算法选择：

   • 哈希表/映射标记：用 map<PII, int> 记录每个坐标 \((x, y)\) 是否被占用，实现 \(O(\log n)\) 的单点查询与标记
   • 贪心策略：按操作顺序依次处理，能放就放，不放则跳过，顺序不影响最终答案

3. 关键步骤：

   • 初始化：创建空映射 \(mp\)，答案计数器 \(ans = 0\)
   • 逐次处理操作（遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(M\)，当前左上角为 \((x, y)\)）：
     • 占用检查：查询 \(mp[\{x, y\}]\)、\(mp[\{x, y+1\}]\)、\(mp[\{x+1, y\}]\)、\(mp[\{x+1, y+1\}]\) 是否均为 \(0\)
     • 放置判断：
       • 若 \(4\) 个格子均未被占用：\(ans \mathrel{+}= 1\)，并将这 \(4\) 个坐标在 \(mp\) 中标记为 \(1\)
       • 否则：跳过本次操作
   • 输出 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(M \log M)\)，每次操作进行 \(4\) 次映射查询/插入，每次 \(O(\log |mp|)\)
   • 空间复杂度：\(O(M)\)，最多存储 \(4M\) 个被占用的坐标点

5. 集合标记的核心思想：

   • 点集覆盖：将 \(2 \times 2\) 方块抽象为 \(4\) 个格子的集合，放置条件转化为"集合与已占用点集无交集"
   • 惰性标记：仅在放置成功时标记，未放置的位置不占用额外空间
   • 顺序无关性：由于一旦占用永久占用，操作顺序不影响最终结果，贪心模拟即为最优
   • 适用于"区域覆盖 + 冲突检测"类问题，核心是快速判断区域可用性

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;  // 定义坐标对类型
const int N = 200005;        // 最大点数（未使用）

int n, m;       // n: 坐标范围？, m: 操作次数
int ans;        // 答案：不重叠的2×2正方形数量
map<PII, int> mp;  // 记录每个点是否被占用，1表示被占用

int main()
{
    // 输入n和m
    cin >> n >> m;

    // 处理m次操作
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;  // 输入2×2正方形的左上角坐标

        // 检查以(x,y)为左上角的2×2正方形是否与已存在的正方形重叠
        // 一个2×2正方形包含4个点：(x,y), (x,y+1), (x+1,y), (x+1,y+1)
        // 如果这4个点都没有被占用，说明可以放置新的正方形
        if (mp[{x, y}] != 1 &&        // 左上角
            mp[{x, y + 1}] != 1 &&    // 右上角
            mp[{x + 1, y}] != 1 &&    // 左下角
            mp[{x + 1, y + 1}] != 1)  // 右下角
        {
            // 可以放置新正方形
            ans++;  // 增加计数

            // 标记这4个点为已占用
            mp[{x, y}] = 1;
            mp[{x, y + 1}] = 1;
            mp[{x + 1, y}] = 1;
            mp[{x + 1, y + 1}] = 1;

            // 注意：这里没有检查坐标是否越界
            // 假设输入的坐标都在有效范围内
        }
    }

    // 输出不重叠的正方形数量
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

4 3
1 1
2 2
2 3
2