题解：洛谷 AT_abc436_b Magic Square

【题目来源】

洛谷：AT_abc436_b [ABC436B] Magic Square - 洛谷

【题目描述】

给定一个奇数 \(N\)，且 \(N\geq 3\)。

有一个 \(N\) 行 \(N\) 列的网格，初始时所有格子都是空的。现在，你将按照如下步骤在每个格子里写入整数。令 \((i,j)\) 表示第 \(i+1\) 行（自顶向下）第 \(j+1\) 列（自左向右）的格子（\(0\leq i<N, 0\leq j<N\)）。

1. 在格子 \((0,\frac{N-1}{2})\) 中写入 \(1\)。
2. 重复以下操作 \(N^2-1\) 次：
   • 设 \((r,c)\) 是上一次写入整数的格子，\(k\) 是上一次写入的整数。如果格子 \(((r-1)\bmod N, (c+1)\bmod N)\) 为空，则在该格子写入 \(k+1\)；否则，在格子 \(((r+1)\bmod N, c)\) 中写入 \(k+1\)。其中 \(x\bmod N\) 表示 \(x\) 除以 \(N\) 的余数。

请找出这个过程中每个格子里最终写入的整数。可以证明每个格子恰好只会被写入一个整数。

【输入】

输入从标准输入按以下格式给出：

\(N\)

【输出】

设 \(a_{i,j}\) 表示第 \((i,j)\) 个格子里写入的整数，输出格式如下：

\(a_{0,0}\ a_{0,1}\ \dots\ a_{0,N-1}\)
\(a_{1,0}\ a_{1,1}\ \dots\ a_{1,N-1}\)
\(\vdots\)
\(a_{N-1,0}\ a_{N-1,1}\ \dots\ a_{N-1,N-1}\)

【输入样例】

3

【输出样例】

8 1 6
3 5 7
4 9 2

【核心思想】

1. 问题分析：给定奇数 \(N\)，需要按照特定规则构造 \(N \times N\) 的幻方（Magic Square）。规则为：从第一行中间开始填 \(1\)，之后每次尝试往当前格子的右上角填下一个数；若右上角已被占用或越界（通过取模循环处理），则改为填在当前格子的正下方。这是一个直接模拟/规则构造问题，关键在于正确实现坐标变换和边界循环。

2. 算法选择：

   • 直接模拟：严格按照题目给定的构造规则，逐步填入 \(1\) 到 \(N^2\) 的整数
   • 循环边界处理：使用 \((x + N) \% N\) 实现越界时的循环回绕（如第 \(-1\) 行变为第 \(N-1\) 行）

3. 关键步骤：

   • 初始化：创建 \(N \times N\) 的空矩阵 \(a\)，初始值全为 \(0\)
   • 放置 \(1\)：\(a[0][(N-1)/2] = 1\)，当前位置 \((i, j) = (0, (N-1)/2)\)
   • 循环放置（\(k\) 从 \(1\) 到 \(N^2 - 1\)）：
     • 计算候选位置（右上角）：\(next\_i = (i - 1 + N) \% N\)，\(next\_j = (j + 1) \% N\)
     • 判断分支：
       • 若 \(a[next\_i][next\_j] = 0\)（空）：填入 \(k+1\)，更新 \((i, j) = (next\_i, next\_j)\)
       • 若已被占用：填入 \(a[(i+1) \% N][j] = k+1\)，更新 \(i = (i+1) \% N\)（正下方）
     • \(k \mathrel{+}= 1\)
   • 输出矩阵：按行优先输出 \(a\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^2)\)，恰好填入 \(N^2\) 个数，每个数 \(O(1)\) 计算位置
   • 空间复杂度：\(O(N^2)\)，存储 \(N \times N\) 的幻方矩阵

5. 规则模拟的核心思想：

   • Siamese Method（暹罗法）：该构造规则是经典的奇数阶幻方生成算法，保证每行、每列、对角线之和相等
   • 循环坐标系：通过取模运算将二维网格视为环面（torus），消除边界特殊性，统一处理所有位置
   • 贪心占位：始终优先尝试右上角，仅在冲突时回退到正下方，确保 \(N^2\) 个位置恰好被填满且不重复
   • 适用于"按固定规则逐步构造矩阵/序列"类问题，核心是准确翻译题目规则为代码逻辑

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;  // 最大矩阵大小
int n;              // 幻方大小（奇数）
int a[N][N];        // 幻方矩阵

int main()
{
    // 输入幻方大小n（应为奇数）
    cin >> n;

    // 1. 初始化：将1放在第一行的中间列
    a[0][(n - 1) / 2] = 1;
    int k = 1;  // 当前已放置的数字

    // 当前位置：i行，j列
    int i = 0, j = (n - 1) / 2;

    // 2. 放置剩余的n*n-1个数字
    while (k <= n * n - 1)
    {
        // 计算右上角的位置（循环处理）
        int next_i = (i - 1 + n) % n;  // 上一行
        int next_j = (j + 1) % n;      // 右一列

        // 如果右上角位置为空
        if (a[next_i][next_j] == 0)
        {
            // 将下一个数字放在右上角
            a[next_i][next_j] = k + 1;
            // 更新当前位置
            i = next_i;
            j = next_j;
        }
        else
        {
            // 如果右上角被占用，放在正下方
            a[(i + 1) % n][j] = k + 1;
            // 更新当前位置
            i = (i + 1) % n;  // 下一行
            j = j;            // 同一列
        }

        k++;  // 已放置数字数量加1

        // 调试输出
        // cout << "i j " << i << " " << j << endl;
    }

    // 3. 输出幻方
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            cout << a[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

【运行结果】

3
8 1 6
3 5 7
4 9 2