题解：洛谷 AT_abc435_b No-Divisible Range

【题目来源】

洛谷：AT_abc435_b [ABC435B] No-Divisible Range - 洛谷

【题目描述】

给定一个长度为 \(N\) 的正整数序列 \(A=(A_1,A_2,\ldots,A_N)\)。

请你求出有多少对整数 \((l,r)\) 满足 \(1\leq l\leq r\leq N\)，并且满足以下条件：

对于每一个满足 \(l\leq i\leq r\) 的整数 \(i\)，\(A_i\) 不是 \(A_l+A_{l+1}+\cdots+A_r\) 的约数。

【输入】

输入从标准输入中读入，格式如下：

\(N\) \(A_1\) \(A_2\) \(\ldots\) \(A_N\)

【输出】

输出满足条件的对数。

【输入样例】

5
8 6 10 5 7

【输出样例】

6

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(N\) 的正整数序列 \(A\)，需要统计满足条件的区间 \([l, r]\) 数量：区间内每个元素 \(A_i\) 都不是区间和 \(\sum_{j=l}^{r} A_j\) 的约数。这是一个暴力枚举 + 前缀和优化问题，关键在于利用前缀和 \(O(1)\) 计算区间和，再 \(O(r-l+1)\) 检查区间内每个元素是否整除该和。

2. 算法选择：

   • 前缀和：\(sa[i] = \sum_{j=1}^{i} A_j\)，将区间和计算优化至 \(O(1)\)
   • 暴力枚举：由于 \(N \le 50\)，直接 \(O(N^2)\) 枚举所有区间，对每个区间 \(O(N)\) 检查整除性，总复杂度 \(O(N^3)\) 完全可接受

3. 关键步骤：

   • 前缀和初始化：计算 \(sa[i] = sa[i-1] + A_i\)（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）
   • 枚举区间（\(l\) 从 \(1\) 到 \(N\)，\(r\) 从 \(l\) 到 \(N\)）：
     • 计算区间和：\(tot = sa[r] - sa[l-1]\)
     • 整除性检查：遍历 \(i\) 从 \(l\) 到 \(r\)，若存在 \(tot \% A_i = 0\) 则该区间不合法，跳过
     • 若遍历完均无整除，则 \(ans \mathrel{+}= 1\)
   • 输出 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^3)\)，枚举 \(O(N^2)\) 个区间，每个区间检查 \(O(N)\) 个元素
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，原数组 + 前缀和数组

5. 暴力枚举的核心思想：

   • 数据规模决定算法：\(N \le 50\) 时 \(N^3 = 125000\)，无需复杂优化，直接暴力即可
   • 前缀和降维：将区间求和从 \(O(N)\) 降为 \(O(1)\)，是区间问题的基础优化手段
   • 否定即退出：检查函数中一旦发现存在约数立即返回 false，减少无效遍历
   • 适用于"小规模数据 + 区间判定"类问题，核心是准确理解题意并直接翻译为代码

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 55;  // 最大数组长度
int n;             // 数组长度
int ans;           // 答案：符合条件的区间数量
int a[N];          // 原始数组
int sa[N];         // 前缀和数组，sa[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]

/**
 * 检查区间[l,r]的和是否能被区间内任意一个数整除
 * @param res 区间和
 * @param l 区间左端点
 * @param r 区间右端点
 * @return 如果区间和不能被区间内任意数整除，返回true；否则返回false
 */
bool check(int res, int l, int r)
{
    // 遍历区间[l,r]内的每个数
    for (int i = l; i <= r; i++)
    {
        // 如果区间和能被a[i]整除，则不符合条件
        if (res % a[i] == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    // 区间和不能被区间内任意数整除
    return true;
}

int main()
{
    // 输入数组长度
    cin >> n;

    // 输入数组并计算前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        sa[i] = sa[i - 1] + a[i];  // 前缀和
    }

    // 枚举所有区间[i,j]
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = i; j <= n; j++)
        {
            // 计算区间[i,j]的和
            int tot = sa[j] - sa[i - 1];

            // 调试输出
            // cout << "tot " << tot << endl;

            // 检查区间和是否能被区间内任意数整除
            if (!check(tot, i, j))
            {
                continue;  // 不符合条件，跳过
            }

            // 调试输出
            // cout << "i j " << i << " " << j << endl;

            // 符合条件，计数加1
            ans++;
        }
    }

    // 输出结果
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

5
8 6 10 5 7
6