题解：洛谷 AT_abc435_a Triangular Number

【题目来源】

洛谷：AT_abc435_a [ABC435A] Triangular Number - 洛谷

【题目描述】

给定一个正整数 \(N\)。
请输出从 \(1\) 到 \(N\) 的所有整数之和，即 \(1+2+\cdots+N\)。

【输入】

从标准输入中读取一行，格式如下：

\(N\)

【输出】

输出从 \(1\) 到 \(N\) 的所有整数之和。

【输入样例】

5

【输出样例】

15

【核心思想】

1. 问题分析：给定正整数 \(N\)，需要计算 \(1 + 2 + \cdots + N\) 的值。这是一个等差数列求和/直接公式计算问题，关键在于使用高斯求和公式替代循环累加，实现 \(O(1)\) 计算。

2. 算法选择：

   • 数学公式：利用等差数列求和公式 \(S = \frac{N(N+1)}{2}\) 直接计算

3. 关键步骤：

   • 读取输入：读入正整数 \(N\)
   • 公式计算：\(ans = \frac{N \times (N+1)}{2}\)
   • 输出结果：打印 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(1)\)，仅一次乘法和一次除法
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需一个整型变量

5. 数学公式的核心思想：

   • 配对求和：将 \(1\) 与 \(N\) 配对、\(2\) 与 \(N-1\) 配对……每对和均为 \(N+1\)，共 \(\frac{N}{2}\) 对，故总和为 \(\frac{N(N+1)}{2}\)
   • 避免溢出：使用 long long 或调整计算顺序（先除后乘）防止 \(N(N+1)\) 超出 int 范围
   • 适用于"连续整数求和"类基础数学问题，体现"用数学替代暴力"的优化思想

【算法标签】

入门 #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;  // 输入的正整数n

int main()
{
    // 输入正整数n
    cin >> n;

    // 计算1到n的和，并输出结果
    // 公式：S = n(n+1)/2
    cout << (n + 1) * n / 2 << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

5
15